Buscando funciones$f$ con$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = 1$.

Question

Estoy buscando funciones y / o constantes que cuando se integran desde menos infinito a infinito producen 1. Creo que la función delta de Dirac es un ejemplo, pero ¿quizás hay más? Las referencias en material útil también son muy apreciadas.

Answer 1

Cualquier función integrable que proporcione una respuesta no nula finita puede modificarse para adaptarse a sus necesidades.

Supongamos que ∫ f (x) dx = A, entonces g (x) = f (x) / A, automáticamente tenemos ∫ g (x) dx = A / A = 1.

(En realidad, toda función de distribución de probabilidad continua debe tener esta propiedad.)

Answer 2

Esto debería ser un comentario pero no puedo comentar ...

La función delta de Dirac no es una función!

Answer 3

Cualquier función f(x), que integra a 1 sobre cualquier intervalo [a,b] se ajusta a este proyecto de ley, ya que podemos definir g(x) = f(x) en [a,b], y 0 en todos los demás.

Incluso si usted sólo desea funciones continuas, la restricción de nosotros mismos por encima de f(x), donde f(a) = f(b) = 0 todavía satisface esta.

Si quieres funciones continuas estrictamente > 0 en todas partes, estos son conocidos como las distribuciones de probabilidad de (continua en [-∞, ∞]). Una gran lista de este tipo de funciones se puede encontrar aquí. Un poco más ejemplos notables son:

• La distribución normal
• El skew-normal de distribución
• La distribución t
• La distribución de cauchy
• La extrema de la distribución de valores de

Answer 4

Un buen ejemplo es la distribución estándar de Gauss ,$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$. Este es el ejemplo más sencillo de una función de distribución de probabilidad continua como se mencionó anteriormente en KennyTM.