Gramática matemática - "leyes" o "propiedades"

Question

Quiero preguntar sobre la gramática utilizada en matemáticas con respecto al uso de las palabras leyes y propiedades.

Estaba leyendo nuevamente sobre logaritmos y manipulación de logaritmos en cálculos.

La siguiente lista son los logaritmos sobre los que tengo la pregunta:

$$log_axy = log_ax + log_ay$$ $$log_a\frac{x}{y} = log_ax - log_ay$$ $$log_ax^n = nlog_ax$$ $$log_a1 = 0$$ $$log_aa = 1$$

Ahora, al estudiar estos, mi profesor me dijo estrictamente lo siguiente -

Los logaritmos tienen propiedades, no leyes. Una ley implica que un matemático ha declarado, por ejemplo, que la suma de dos logaritmos es $log_ax + log_ay = log_axy$, mientras que una propiedad implica que un matemático ha descubierto que los logaritmos exhiben dicho comportamiento.

Aunque no soy un estudiante avanzado en matemáticas, quería preguntar qué piensan las personas sobre esta terminología, ya que mi clase se sumergió en un breve argumento sobre este tema y pensé que sería interesante escuchar las opiniones de los usuarios en StackExchange.

¿Se debe referir a lo anterior como propiedades de logaritmos o como leyes de logaritmos?

Answer 1

Estoy con tu profesor. Tenemos que enfatizar que las matemáticas tratan abrumadoramente de fenómenos, no de reglas que se imponen a las cosas.

La distributividad, según la cual $a(b+c)=ab+ac$ para los números $a$, $b$ y $c$, no es algo impuesto a los números (¡mucho menos a los estudiantes!) por algún matemático oficioso, sino una observación sobre cómo se comportan los números, la suma y la multiplicación.

De la misma manera, la fórmula $\log(xy)=\log x+\log y$ es una descripción de fenómenos, y por lo tanto debería llamarse más apropiadamente una Propiedad.

Answer 2

Decir que las leyes de los exponentes o los logaritmos no son leyes porque no fueron legisladas tiene tanto sentido como decir que no son propiedades porque no puedes poseerlas, no puedes comprarlas o venderlas, no puedes construir casas sobre ellas o legarlas a tus herederos, no tienes que pagar impuestos sobre ellas, etc. Una palabra puede tener más de un significado. En la larga entrada de ley en el OED en línea, bajo el subtítulo "III. Usos científicos y filosóficos", aquí hay una cita adecuada de 1865:

Una Ley expresa un orden invariable de fenómenos o hechos.

Así, la ley de la gravedad, las leyes de la termodinámica, la ley de los senos, la ley de la media, las leyes de De Morgan, etc.

Answer 3

Considera las "leyes" para grupos aditivos abelianos: $$a+b=b+a,\; a+(b+c)=(a+b)+c,\;a+(-a)=0,\;a+0=0+a=a.$$ Cualquier grupo aditivo abeliano en particular, para ser llamado grupo aditivo abeliano, tendrá que cumplir estas leyes. En otras palabras, tendrá ciertas propiedades que incluyen las leyes. Entonces, en abstracto, hay leyes para los grupos y cualquier grupo en particular tendrá propiedades que incluyen satisfacer las leyes del grupo.

Las "leyes" del logaritmo básicamente dan las leyes para un homomorfismo de un grupo multiplicativo abeliano a un grupo aditivo abeliano. La función particular $x\mapsto \log_a(x)$ en $\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ tiene propiedades que satisfacen esas leyes. Por lo tanto, dependiendo del contexto, se pueden usar las "leyes" del logaritmo como leyes abstractas para ciertos homomorfismos, y como propiedades para una función en particular.

Answer 4

Es una cuestión de historia y tradición. Sucedió que las leyes de los índices y logaritmos fueron nombradas así en una época en la que ese término estaba de moda. En ese entonces, se entendía menos la distinción entre matemáticas y física. Más tarde, mientras que la física mantuvo el término ley, los matemáticos tendieron a preferir otros términos, como propiedad. Sin embargo, la ley no fue abandonada por completo: por ejemplo, la ley del logaritmo iterado fue descubierta recién bien entrado el siglo 20. Quizás su nombre fue influenciado por la familiaridad con "las leyes de los logaritmos".

En mi opinión, el uso del término tradicional es inofensivo. Nadie va a creer que, a diferencia del resto de las matemáticas, el comportamiento de los logaritmos está dictado por un decreto de las autoridades matemáticas.