Prueba $∀ε>0:x<y+\epsilon ⇒ x<y$

Question

Si $x, y \in \Bbb R$ y $x<y+\epsilon$ por cada $\epsilon >0$ entonces $x<y$ .

Vale, así que me puse a probar el contrapositivo.

Prueba de ello: Sea $x,y\in\Bbb R$ y que $\epsilon>0$ . Supongamos que $x\ge y$ . Toma $\epsilon = x-y$ . Esto implica que $x=y+\epsilon$ según sea necesario.

¿Es una prueba válida o no?

Answer 1

La afirmación que quieres demostrar no es cierta.

Toma $x = y =0$ . Usted tiene, para todos $\varepsilon > 0$ , $x < y + \varepsilon$ (porque $\varepsilon > 0$ ), pero por supuesto no tiene $x < y$ .

Answer 2

La prueba no es válida por el simple hecho de que la afirmación es falsa, por lo que no puedes demostrarla.

La afirmación correcta es "si, para todo $\varepsilon>0$ , $x<y+\varepsilon$ entonces $x\le y$ ".

¡Ahora su prueba funciona! Supongamos que $x>y$ (es decir, "no $x\le y$ ") y tomar $\varepsilon=x-y$ Entonces $\varepsilon>0$ y $x=y+\varepsilon$ .

Answer 3

1) La afirmación es falsa.

Un contraejemplo: Que $x = y$ . Entonces $x = y < y+\epsilon$ para todos $\epsilon > 0$ pero $x \not < y$ .

2) Su error está en reclamar la configuración $\epsilon = x - y$ . Si $x =y$ entonces que $\epsilon \not > 0$ .

Su prueba está condenada al fracaso por $x = y$ porque la afirmación es falsa para $x =y$ .

3) Pero usted ha demostrado que $x>y$ es imposible. Eso significaría que si $\epsilon = x - y > 0$ entonces $x = y + \epsilon$ lo que contradice nuestra hipótesis de que $x < y + \epsilon$ para todos $\epsilon>0$ .

4) Así que a TRUE sería: si $x < y + \epsilon$ para todos $\epsilon > 0$ entonces $x \le y$ y tú con éxito han demostrado que.