Este es un problema que he jugado con varios años atrás. He probado un par de cosas, pero las pruebas eran largos y desordenados y que no vale la pena reproducir aquí.
Dado un entero positivo $n$ y un conjunto $S$ tal que $S \subset Z_n$, definir un punto focal de $n$ $S$ cualquier $a \in Z_n$ tal que para cada una de las $x \in S$ existe $y \in S$ tal que $x+y \equiv a \mod n$. Es posible tener $x = y$.
Ejemplo 1. $n=15$, $S_1=\{1,2,6,7,10,11,12,13\}$. A continuación, $n$ $S_1$ tiene el punto focal $8$ porque $1+7 = 2+6 = 10+13 = 11+12 = 8$. Por el agotamiento de uno puede demostrar que no hay otros.
Ejemplo 2: $n=15$, $S_2=\{1,2,6,7,11,12,13\}$. Estos no tienen puntos focales, aunque $S_2$ es simplemente $S_1$ $10$ eliminado. De hecho, la eliminación de cualquier elemento de $S_1$ resultados en un conjunto que no tiene puntos focales con $n$.
Ejemplo 3: $n = 15$, $S_3=\{1,2,6,7,11,12\}$. $S_3$ se obtiene por la eliminación de $10$ $13$ a partir de $S_1$. $S_3$ y $n$ tienen 3 puntos focales: $3, 8$, e $13$.
Deje $F(n,S)$ el conjunto de los puntos focales de $n$$S$. Mis preguntas son estas:
- ¿Qué podemos decir sobre el tamaño de $F(n,S)$? Yo era capaz de demostrar que debe ser $0$ o un divisor de a $n$, pero sin duda, uno puede decir más.
- Mejor aún, ¿hay una buena manera de caracterizar $F(n,S)$?
Mi corazonada es que el derecho algebraica de la estructura va a hacer lo que está pasando aquí, claro como el cristal. Por desgracia, mi álgebra es muy oxidado.
Añadido: Una cosa a observar es que en el caso del Ejemplo 3, $S_3$ se divide muy bien en el residuo de clases $\bmod 5$: $\{1, 6, 11\}$ y $\{2, 7, 12\}$. Si $n_4 = 5$$S_4 = \{1,2\}$, entonces claramente $n_4$ $S_4$ tiene un punto focal: $3$. Seguramente no es una coincidencia, entonces, que el $n_3 = 15$ $S_3=\{1,2,6,7,11,12\}$ tienen 3 puntos focales. Así que tal vez hay una caracterización que tiene que ver con al $S$ puede ser dividido en clases de residuos modulo es un divisor de a $n$?
