La función está definida en el intervalo $[0,1]$ con las siguientes condiciones:
1) $f(0)=1$ ,
2) $f(1)=2$ ,
3) $f(x)$ es continua en $[0,1]$ ,
Demostrar o refutar: Existe alguna $c$ de $(0,1)$ , de tal manera que $f'(c)=1$ .
Mi trabajo hasta ahora:
Si asumimos que $f(x)$ también es diferenciable en $(a,b)$ que debido al Teorema del Valor Medio tenemos
$f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{2-1}{1}=1$ ,
por lo que todo se mantiene. Pero si excluyo esta suposición no sé qué hacer.
¿estás insinuando el hecho de que $\;f\;$ se puede construir ? Porque creo que el OP se refería a la función se da .
@Timbuc: Entiendo que la pregunta es si las hipótesis implican que tal $c$ existe. No lo hacen, ya que existen contraejemplos, y estoy sugiriendo cómo se puede construir uno fácilmente. Si la pregunta es sobre un $f$ obviamente tendríamos que saber cuál es esa función.
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Sugerencia: El hecho de tener que suponer la diferenciabilidad para utilizar la MVT sugiere que una función no diferenciable podría proporcionar un contraejemplo.
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Creo que la función de Weierstrass se puede modificar en consecuencia para dar un contraejemplo: es.wikipedia.org/wiki/Función de Weierstrass
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@Timbuc: Eso es lejos más complicado de lo necesario.
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Sí, ahora lo veo, @BrianM.Scott... mucho más complicado.