Me gustaría mostrar que el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico. Mi objetivo es utilizar lo mejor de mi conocimiento para representar el argumento de lo más eficiente, pero simple y comprensible como sea posible.
Mi intento (editado después de la lectura de anón la respuesta)
Deje $\newcommand{\Fq}{\mathbb F_q}K$ ser un campo. Asumir que hay un elemento $\alpha\in K$ orden $d$. Entonces sus poderes debe generar $d$ los distintos elementos. En este caso tenemos $$ \langle\alpha\rangle\simeq\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\Z/d\Z $$ Además $\alpha$ debe ser una raíz primitiva del polinomio $$ X^d-1 $$ Cualquier elemento de $\langle\alpha\rangle$ elevado a la orden del grupo de los rendimientos del elemento neutro. Esto significa que todas las $d$ elementos de $\langle\alpha\rangle$ son raíces de $X^d-1$ así que hemos encontrado de todas las posibles raíces.
A partir de esto podemos ver que la $\varphi(d)$ generadores de $\Z/d\Z$ corresponden isomorphically a $\varphi(d)$ generadores de $\langle\alpha\rangle$ que debe ser de raíces primitivas de $X^d-1$. Desde $\langle\alpha\rangle$ contiene todas las raíces de $X^d-1$ en $K$, estos grupos deben ser los únicos elementos de orden multiplicativo $d$ en $K$.
Para resumir hasta ahora
Un campo de $K$ contiene NINGUNO o $\varphi(d)$ elementos de orden multiplicativo $d$.
Cualquier subgrupo finito de $K^*$ es cíclico
Deje $G$ ser un subgrupo de $K^*$ tener $n$ elementos. Desde el grupo cíclico $\Z/n\Z$ sabemos que $$ \sum_{d\mediados n}\varphi(d)=n $$ Ahora, cualquier elemento de $G$ debe tener un poco de orden $d$ que divide $n$ por Lagranges teorema. En cada caso esto proporciona exactamente $\varphi(d)$ elementos de orden $d$. Así que si $G$ se pierde en cualquier orden $d$ dividiendo $n$ entonces $G$ tienen menos elementos de los que se cuentan en la suma por encima de la que será una contradicción ya que el $G$ debe tener $n$ elementos.
Esta muestra en particular que $G$ tiene un elemento de orden $n$ lo $G$ es cíclico.
El caso especial de un campo finito
Así, en un campo finito $\Fq$ el grupo multiplicativo $\Fq^*$ es finito por lo tanto cíclica por los argumentos anteriormente.
Alguna sugerencia?
Si alguien tiene sugerencias de cómo simplificar esto más que yo no uso mucho en mi examen oral de la prueba, sin duda será agradecido!
