Soluciones enteras de $a^3+2a+1=2^b$

Question

¿Cuáles son las soluciones en números enteros de $a^3+2a+1=2^b$ ?

[Fuente: Problema de competencia en Serbia]

Answer 1

Mi sugerencia sería empezar con a(a+2)=2 b -1

1. También observamos que cuando a es impar, a 2 +2 es impar. igualmente si a es par, a 2 +2 es incluso
   i.) A partir de aquí, podemos generalizar que como 2 b -1 es impar para todos los enteros a y b > 0, entonces a debe ser siempre impar

   ii) Observamos que el último dígito de 2 b -1 oscila entre los números 1,3,7,5

   iii.)A partir de ii.) los valores restantes del último dígito de a pueden reducirse a 3, 5 y 7
   (es decir, b mod 4= 0 o 2 ; b es un múltiplo de 2)

Combinando todas las condiciones, podemos formar la ecuación diofantina: a(a 2 +2)=(2 b +1)(2 b -1)