Ordenar propiedades en conjuntos abiertos

Question

Considerando el orden de los subconjuntos en los conjuntos abiertos de un espacio topológico, parece natural preguntar qué tipo de órdenes totales existen como subórdenes del orden de los subconjuntos. Una posibilidad es que cada orden total sea una orden correcta. ¿Dónde puedo leer más sobre este tipo de cosas?

Answer 1

En el punto de ajuste de la topología, se puede definir el abierto de los conjuntos de $\mathcal{T}$ a de un espacio topológico $(X,\mathcal{T})$ sin embargo uno quiera siempre y cuando los elementos de $\mathcal{T}$ tiene las siguientes tres propiedades: en Primer lugar, tanto en $\varnothing$ e $X$ debe estar abierto. Segundo, la intersección de dos conjuntos también debe estar abierto. Tercero, la unión de cualquier colección de bloques abiertos es abierta.

Uno puede traducir estas condiciones para el lenguaje de conjuntos ordenados. Claramente, el subconjunto de orden en el abierto de conjuntos de topológico, tiene un máximo, un mínimo, ha finito infimums, y ha arbitraria supremums. En otras palabras, un conjunto ordenado es un almacén de red que pasa a ser cerrado bajo arbititrary supremums / 'cumple'.

Por el contrario cualquier entramado $L$ de este tipo es en realidad el conjunto de bloques abiertos de un espacio topológico $(L, \mathcal{L})$ como sigue: considerar todos los subconjuntos $\mathcal{L}$ de % de $L$ que constan de algún elemento $l \in L$ junto con todos los elementos $k \in L$ tales $k \leq l$. Esta clase de conjuntos es cerrado bajo arbitraria intersección arbitraria de la unión, y contiene tanto $\varnothing$ e $L$ y por lo tanto las formas de la topología que desee.

Volviendo a su pregunta sobre el total de los subórdenes de abrir el orden establecido: cualquier cualquier orden total $T = (|T|, \leq_T)$ es un suborden de otro orden total con un 'fondo' elemento (como $\varnothing$) y un 'top' elemento (como $K$). Este orden es, a su vez, un supremum cerrado de celosía que es isomorfo a algunos "abrir establece en una topología de" orden por el párrafo anterior.

Una pregunta relacionada podría ser que (en total?) los pedidos se muestran en el abierto subconjunto orden de un espacio métrico. O, para el caso, cualquier clase restringida de espacios topológicos. Creo que uno puede decir esto: Un orden total no es el suborden de un conjunto abierto de la orden a menos que contable.

Answer 2

Esta respuesta se basa en parte en dos comentarios a la pregunta, por @BrianM.Scott y una mina. Consta de dos observaciones.

Proposición 1. Cada orden total $(X,\leq)$ incrusta en un $(\mathcal{T},\subseteq)$ para algunos topología $\mathcal{T}$.

Esto puede ser visto por tomar $\mathcal{T}$ a ser la topología en $X$ con base $$ \{I(a,b) : a< b \}, $$ donde $a,b\in X$ e $I(a,b) := \{x \in X : a<x<b\}$ es el intervalo abierto con los extremos de $a$ e $b$. Esta construcción, llamado el fin de la topología en $X$, es totalmente análoga a la de la topología en $\mathbb{R}$.

Ahora es fácil ver que el mapa $$ x\mapsto \{y \in X : y< x\} $$ es una orden de la incrustación.

Proposición 2. Deje $(X,\mathcal{T})$ ser $T_1$ espacio topológico. Si cada total suborden de $(\mathcal{T},\subseteq)$ es un wellorder, a continuación, $X$ es finito.

Aquí, $T_1$ significa que los únicos están cerradas (esto sucede en cada espacio de Hausdorff, por ejemplo). Para demostrar la Proposición, nos muestran el contrapositivo. Si $X$ es infinito, tomar algunas infinita secuencia $\{x_n: n\in \mathbb{N}\}\subseteq X$ y considerar el abrir de los conjuntos de $$ X \supset X\setminus\{x_1\} \supset X\setminus\{x_1,x_2\}\supset \dots $$ Esto es estrictamente decreciente $\subseteq$-secuencia, por lo tanto no es un wellorder.