Ejercicio de curvatura, necesidad de pista.

Question

Sea$\alpha: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ una parametrización de una curva suave en el espacio con$\|\alpha'(s)\| = 1$ constante. Supongamos que para todos los$s$ dentro de un vecindario suficientemente pequeño de% real fijo $s_0$, tenemos$$\|\alpha(s)\| \le \|\alpha(s_0)\| = R.$$I need to show that the curvature of this curve at $ s_0$ is greater than or equal to $ 1 / R $. Estoy completamente atascado. ¿Podría tener una pista en la dirección correcta?

Answer 1

(Ya que no reaccionaste a la respuesta de Alan U. Kennington, voy a completar algunos detalles).

Dejar $s_0=0$. Luego$$\alpha(s)=R {\bf u} +s {\bf v}+ o(s)\qquad(s\to0)$ $ con${\bf u}$ y${\bf v}=\dot\alpha(0)$ vectores unitarios. De ello se deduce que$$|\alpha(s)|^2=R^2 + 2Rs\langle{\bf u},{\bf v}\rangle+o(s)\qquad(s\to0)\ .$ $ Esto es$>R^2$ para ciertos$s$ cerca de$0$, a menos que$\langle{\bf u},{\bf v}\rangle=0$, resp. ${\bf v}\perp{\bf u}$. Ahora observamos la siguiente aproximación de Taylor:$$\alpha(s)=R {\bf u} +s {\bf v}+{s^2\over 2}\ddot\alpha(0)+o(s^2)\qquad(s\to0)\ .$ $ Obtenemos$$|\alpha(s)|^2=R^2 + \bigl(1+R\langle{\bf u},\ddot\alpha(0)\rangle \bigr)s^2+o(s^2)\qquad(s\to0)\ .$$ The condition $ | \ alpha (s) | ^ 2 \ leq R ^ 2$ for all $ s $ entonces implica $$1+R\langle{\bf u},\ddot\alpha(0)\rangle \leq0\ ,$ $ y por lo tanto$$\kappa(0)=|\ddot\alpha(0)|\geq\bigl|\langle{\bf u},\ddot\alpha(0)\rangle\bigr|\geq{1\over R}\ .$ $

Answer 2

Usted primero tiene que demostrar que el vector tangente de la curva en la $s_0$ es en el plano tangente a la esfera con un radio de $R$. Entonces se puede hacer un desarrollo en serie de Taylor tipo de expansión de la curva en un barrio de $\alpha(s_0)$. Si la curvatura es menor que $1/R$, entonces para $s$ lo suficientemente cerca de a $s_0$, usted encontrará que la curva se encuentra fuera del radio especificado. Es quizás más fácil de hacer, asumiendo que $\alpha(s_0)=(R,0,0)$ primera. A continuación, hacer una isometría de $\mathbb{R}^3$ para obtener la respuesta. Por supuesto, lo que funciona más fácil depende de qué tipo de teoremas que ya han demostrado en este tema.