Deje que$U \subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto. Sea$f \in W^{1,p}(U)$ y suponga que todos los derivados débiles de$f$ son continuos. ¿Es$f$ en sí mismo continuo?
Es un hecho clásico que si asumimos que a priori$f$ también es continuo, entonces está en$C^1$.
Aquí, sin embargo, no asumo que$f$ es continuo.
Usted puede mostrar la continuidad de $f$ como sigue:
Si $p = \infty$,, a continuación, $f$ es Lipschitz continua y listo.
En el caso de $p < \infty$, se puede considerar un subconjunto abierto $O$ con $\overline O \subset U$. A continuación, $\overline O$ es compacto y de las funciones continuas $D f$ están delimitadas en $\overline O$. Ahora, usted puede utilizar el Sobolev incrustar el teorema de obtener $f \in W^{1,\infty}(O)$. De nuevo, $f$ es de Lipschitz en $O$ e (desde $O$ fue arbitraria), $f$ es continua en $U$.
Ahora usted sabe que $f$ es continuo y se puede utilizar la técnica de la pregunta para mostrar que $f$ se $C^1$.
Depende de exactamente lo que queremos decir por "$f$ es continuo". Tomado literalmente, la respuesta es no: Si $$f(x)=\begin{cases}1,&(x=0), \\0,&(x\ne0)\end{casos}$$then $f$ is not continuous, but the weak derivatives of $f$ equal $0$.
Normalmente en este tipo de contexto cuando uno dice $f$ es continua en uno de los medios que $f=g$ en casi todas partes, donde $g$ es continua. Si eso es lo que queremos decir, entonces la respuesta es sí.
Nota, inspirado por un comentario: Uno tiene que ser cuidadoso acerca de saltar a conclusiones; la continuidad de la condición de arriba tiene más o menos nada que ver con ser continua en casi todas partes! Para facilidad de referencia vamos a la etiqueta de los dos:
(i) $f=g$ en casi todas partes para alguna función continua $g$.
(ii) $f$ es continua en casi todas partes.
En $\Bbb R$, la función de $\chi_{(0,\infty)}$ muestra que (ii) no implica (i), mientras que $\chi_{\Bbb Q}$ muestra que (i) no implica (ii).
El ejercicio de investigar las implicaciones, si las hubiere, entre (i), (ii) y una tercera versión:
(iii) existe un conjunto $E$ de la plena medida que el $f_E$ es continua (wrt para el subespacio de topología en $E$).
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