Axioma de elección y ejercicio del teorema de recursión

Question

Me gustaría probar que si $Χ$ es no vacío con la propiedad $(\forall m\in X)[m\cap X\neq\emptyset]$

entonces existe una función de $f:\mathbb{N}\rightarrow X$ tal que $(\forall n)[f(n+1)\in f(n)]$.

Mi intento de probar que esto es la siguiente:

Puedo usar el Axioma de Elección (o cualquier forma equivalente al Axioma de Elección) de modo que existe una función de $\epsilon: \mathcal{P}(X)\setminus \{\emptyset\}\rightarrow X$ tal que $\epsilon(m)\in m$.

Puedo definir una función de $h:X\rightarrow X$ tal que $h(m)=\epsilon(m\cap X)$.

Desde el teorema de recursión existe una función de $f:\mathbb{N}\rightarrow X$ tal que $f(0)=\epsilon(X)$ e $f(n+1)=h(f(n))=\epsilon(f(n)\cap X)\in f(n)\cap X$ lo $f(n+1)\in f(n)$. Es mi prueba correcta?

Lo que me preocupa un poco es una pregunta después de este ejercicio que dice: "Es este un intuitivamente aceptable resultado?". No sé qué decir acerca de eso...

Así que, en general, es mi prueba correcta? Cualquier comentario sobre que la última pregunta?

Gracias de antemano por tu tiempo y esfuerzo.

Answer 1

Todavía no descrito $\epsilon$ adecuadamente a hacer el truco. En lugar, usted debe saber que cualquier no-vacío subconjunto $A\subseteq X,$ tenemos $\epsilon(A)\in A.$ una Vez que se fija, el resto de la prueba se ve bien.

La siguiente pregunta es, básicamente, preguntando: "¿cree usted que este tipo de cosas (un $\in$-disminución de la secuencia) debe existir?" La existencia de este tipo de secuencia es una consecuencia directa de la falla de el Axioma de Fundación (Regularidad), así que es más o menos preguntando si usted piensa que la Fundación debería o no debería contener.

Answer 2

La primera parte fue escrita como respuesta a la primera revisión de la cuestión.

La prueba está bien. Me gustaría señalar que $\epsilon$ es de $\mathcal P(X)$ e no $\mathcal P(x)$; y que $\epsilon(m)\in m$, en lugar de $X$ a sí misma como una variable (claramente $\epsilon(X)\in X$, debido a $\epsilon\colon\mathcal P(X)\to X$).

Yo también no entienden completamente la necesidad de "y puedo coger $k\in X$." Si $k$ es el mismo desde el siguiente párrafo, en el que se definen $f$, tal vez vale la pena moverse $k$ a ese párrafo. También me gustaría recomendar a ser aún más explícito y tome $f(0)=\epsilon(X)$, pero eso es una preferencia personal.

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Ahora, tenga en cuenta que esta función define una disminución de la secuencia $f(0)\ni f(1)\ni\ldots$; uno de los axiomas de la $\sf ZF$ es el axioma de la fundación, como referencias por Cameron y Andrés, el cual indica que esta situación no puede ocurrir. Es decir, $\forall X(X\neq\varnothing\rightarrow\exists y(y\in X\land y\cap X=\varnothing))$.

Este axioma no es necesario si sólo se desea desarrollar clásica de las matemáticas dentro de la teoría de conjuntos. Sin embargo es utilizado en gran medida en la moderna teoría de conjuntos, y entonces viene la pregunta, ¿puedes sentir este tipo de axioma es natural o no? El siguiente hilo que podrían interesarle, así, Donde se axioma de regularidad utiliza realmente?

Answer 3

Tal conjunto$X$ no existe ya que su existencia contradice el Axioma de Regularidad :

$$ \ forall x \ big (x \ ne \ varnothing \ longrightarrow \ existe y \ en x (x \ cap y = \ varnothing) \ big). $$