Ejercicio de análisis interesante. ¿Cómo puedo utilizar la continuidad aquí?

Question

Considere el siguiente problema.

Dejemos que $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ sea una función continua tal que $f> 0$ y supongamos $\int_{0}^{1}f(t)dt=3$ .

Demuestre que existe $\delta>0$ tal que, para cada $x\in [0,\delta]$ hay un único $y\in [0,1]$ tal que \begin{equation} \int_{x}^{y}f(t)dt=2. \end{equation}

Mi intento:

Si encontramos tal $\delta>0$ y si $x_{0}\in[0,\delta]$ entonces la función

\begin{equation}F(y)=\int_{x_{0}}^{y}f(t)dt \end{equation} parece ser estrictamente creciente (porque $f> 0$ ) y, por tanto, la unicidad se desprende de este hecho junto con la continuidad de $F$ .

Sobre la existencia de $\delta>0$ No tengo ni idea. He pensado durante un tiempo en cómo utilizar la continuidad de la propia función de la definición de la integral pero me está costando. Se agradecerá la ayuda.

Además, ¿está bien el argumento de la unicidad? Gracias.

Answer 1

Pista: Elige $\delta$ para que $\int_{\delta}^1 f(t) dt = 2$ . (Todavía hay que argumentar por qué tal $\delta$ existe, pero lo hace).

Otra pista: Entonces para $x_0 \leq \delta$ , $\int_{x_0}^1 f(t) dt \geq \int_{\delta}^1 f(t) dt = 2$ y $\int_{x_0}^{x_0} f(t) dt = 0$ por lo que se puede utilizar el teorema del valor intermedio para producir un $y$ y la monotonicidad estricta que observaste para demostrar que es única.

(Oops: un G. Sassatelli señala -- no tienes monotonía estricta. Hay que suponer que $f > 0$ .)

No creo que la continuidad de $f$ es estrictamente necesario, pero tal vez se incluya en el problema para que se garantice que $\int_a^b f dt$ tiene sentido, y para que puedas utilizar el teorema fundamental del cálculo. (Aunque tal vez se me escapa algo).

Answer 2

El argumento de la unicidad es correcto.

Una pista para la existencia: mostrar que hay algún $\delta>0$ para lo cual $$\int_\delta^1f(t)dt>2$$ y luego demostrar que este $\delta$ cumple los requisitos.