Cómo evaluar la serie de $\sum_{i,j,k=0}^{\infty}\left(\frac{(i+j+k)!}{i!j!k!}\right)^2x^{-i-j-k} $?

Question

Supongamos que la serie $$ \Gamma (x) =\sum_{i,j,k=0}^{\infty}\frac{((i+j+k)!)^2}{(i!)^2(j!)^2(k!)^2}x^{-i-j-k} $$ Cómo evaluarla?

Se afirma que para $x <3$ esta función converge a la integral elíptica de primera especie, precisamente ver a esta pregunta.

Answer 1

No sé cómo conseguir elíptica de la representación, pero no es un hipergeométrica uno: $$\sum_{i,j,k=0}^{\infty}\left(\frac{(i+j+k)!}{i!j!k!}\right)^2x^{-i-j-k}= \frac{x}{x-3}{}_2F_1\left[\frac13,\frac23;1;\frac{27(x-1)}{(x-3)^3}\right].$$