Calcular el área entre las gráficas de $x^2$ e $x + 1$

Question

Esto es realmente una cuestión de Apostol de Cálculo del libro (ver en la página. 94). Me gustaría saber si mi razonamiento es razonable.

Necesito calcular el área entre las gráficas de $f(x) = x^2$ e $g(x) = x + 1$ definido en $\left[-1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right] $. Yo sé que para lo que yo necesito para calcular la diferencia de $ \int_{-1}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\ f(x) dx - \int_{-1}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\ g(x)dx $ al $ g(x) \leq f(x) $ e $ \int_{-1}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\ g(x) dx - \int_{-1}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}\ f(x)dx $ al $ f(x) \leq g(x) $.

Sé que en algún punto de $x$ entre $-1$ y $0$, $g(x)$ se convierte en más de $f(x)$. Sé que debería partición del intervalo de a $[ -1, x_i]$ e $[x_i, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$ donde $x_i$ es el punto donde las dos gráficas se intersecan. Entonces debo suma de dos integrales definidas en los dos intervalos.

El problema es que yo no puedo calcular $x_i$. Veo dos opciones: (1) encontrar una manera de calcular $x_i$ que no lo puedo hacer en mi propio; (2) $x_i$ desconocido. Estoy aprendiendo por mi cuenta así que no estoy seguro exactamente cuándo ceder.

Estaré agradecido por cualquier tipo de aclaraciones y/o sugerencias.

Answer 1

hacer que sea más fácil en ti mismo, dividiéndolo en 2 de las integrales. F(x) = x^2, G(x)= x+1. a partir de [-1,0] sabemos que F(x) > G(x) y de [0,(1+sqrt(5))/2] G(x)>F(x). para integrar en el intervalo [-1,0], donde la función es F(x)-G(x) que se agrega a la integral en el intervalo [0,(1+sqrt(5))/2] G(x)-F(x). espero que esto ayude.

Cuando se resuelva para x conjunto de dos ecuaciones iguales entre si de manera que x^2 = x+1. mover ambas ecuaciones para el mismo lado así que tienes x^2 -x -1= 0 y cuando usted hace de la fórmula cuadrática, la respuesta debe ser que el límite superior de la integral.

Answer 2

Tenemos $f(-1) = 1$ e $g(-1) = 0$, tan cerca del extremo izquierdo del intervalo tenemos $g(x) < f(x)$. Los gráficos de la cruz al $g(x) = f(x)$, que es equivalente a

$$ x+1 = x^2. $$

Resolver esta ecuación para determinar donde los gráficos cumplen.

Answer 3

Se trataba de una simple ecuación que me impedía la solución de este problema.

Como dijo Antonio, las gráficas se intersecan al $ x^2 = x + 1 $. Por lo tanto, tenemos $ x^2 - x - 1 = 0 $. Completando el cuadrado obtenemos $ (x - \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4} $, por lo tanto $ x = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $ o $ x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. El último es útil para nosotros.

Mi incapacidad para resolver este problema no estaba relacionado con la integración. Espero que esto es perspicaz para alguien de todos modos.