Cómo probar esto $1\times 3\times 5\times 7\cdots\times 2009+2\times4\times6\cdots 2010\equiv 0 (\mod2011)$

Question

Pregunta:

demostrar que $$1\times 3\times 5\times 7\cdots\times 2009+2\times4\times6\cdots 2010\equiv 0 (\mod2011)$$

mi intento: ya que \begin{align*}&1\times 3\times 5\times 7\cdots\times 2009+2\times4\times6\cdots \times2010\\ &=(2009)!!+2^{1005}\cdot1005!! \end{align*} Entonces no puedo. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Multiplica cada factor del primer producto por $-1$ para dar, modulo $~2011$ el factor espejo del segundo producto ( $-1\times1\equiv2010$ , $-1\times3\equiv2008$ etc.). Eso da $2010/2=1005$ factores $~{-}1$ en total, cuyo producto es $~{-}1$ . Por lo tanto, el segundo producto es el opuesto al primero, por supuesto todavía modulo $~2011$ .

Answer 2

Bien, entonces para el primer término:

$1\times 3 \times 5 \times ... \times 2009$

$\equiv 1 \times 3 \times 5 \times ... \times 1005 \times (-1004) \times... \times (-4) \times (-2)$

$\equiv (1 \times 2 \times ... \times 1005)$

$\equiv 1005! \bmod 2011.$

El segundo término es similar:

$2\times 4\times 6 \times ... \times 2010$

$\equiv 2 \times 4 \times 6 \times ... \times 1004 \times (-1005) \times ... \times (-3) \times (-1)$

$\equiv -(1 \times 2 \times ... \times 1005)$

$\equiv -1005! \bmod 2011.$

Así que la suma es $0 \bmod 11$ .