A partir de Lam Un Primer Curso en no conmutativa Anillos, sección 1.3.
Deje $R$ ser un dominio (EA: es decir, un anillo sin divisores de cero) tal que $M_n(R)$ es semisimple. Mostrar que $R$ es un anillo de división.
--
Mi Respuesta: Romper $M_n(R)$ en los ideales de la izquierda $J_i = \{ \text{All columns but $i $ are zero}\}$. Ahora me reclamación sin la prueba de que la izquierda subideals de $J_i$ son todos de la forma $J_i \cap M_n(I)$, de $I \triangleleft R$ a left ideal. I further claim that $I$ is minimal iff $J_i \cap M_n(I)$ is minimal. Therefore to decompose $J_i$ como la suma de un mínimo de a la izquierda ideales es descomponer $R$ como la suma de un mínimo de izquierda ideales. Así $R$ es semisimple.
Desde $R$ es semisimple, $R = I_1 \oplus \dotsb \oplus I_n$, para $I_j$ mínima ideales. Puedo reclamar sin la prueba de que la única manera que esto puede ser un dominio es si sólo hay un sumando, es decir, si $R$ no tiene los ideales de la izquierda, por lo que es un anillo de división.
Yo soy escéptico de mi respuesta, porque parecería que habría que añadir como un paso intermedio para demostrar que $R$ es semisimple. ¿Ves algún problema? O tal vez de una manera más elegante?
