Demostrar que existen infinitos números naturales $n$, de tal manera que $n(n+1)$ puede ser expresado como la suma de dos positivos de los cuadrados de dos maneras distintas.

Question

Demostrar que existen infinitos números naturales $n$, de tal manera que $n(n+1)$ puede ser expresado como la suma de dos positivos de los cuadrados de dos maneras distintas.($a^2+b^2$, es lo mismo $b^2+a^2$), $n \in \mathbb{N}.$

Me han demostrado la pregunta anterior que apareció en una de las Matemáticas Olimpiada. Y yo no sé la solución. Compartir la pregunta debido a que la pregunta tiene un lindo solución.

Answer 1

• Deje $n = 4x^4$, tenemos: $$n(n+1) = (4x^4)^2 + (2x^2)^2 = (4x^4-2x^2)^2 + (4x^3)^2$$
• Deje $n = (u^2 + v^2)^2$, tenemos $$\begin{align} n(n+1) = & ((u^2 + v^2)^2)^2 + (u^2+v^2)^2\\ = & (u^4 - 2uv - v^4)^2 + (2uv^3-v^2+2u^3v+u^2)^2\\ = & (u^4 + 2uv - v^4)^2 + (2uv^3+v^2+2u^3v-u^2)^2 \end{align}$$
• Deje $n = (x+y)^2 + (2xy)^2$, por fin tenemos un ejemplo de que $n$ no es un cuadrado: $$\begin{align} n(n+1) = & (4x^2y^2+2xy+y^2-x^2)^2 + (4x^2y+y+x)^2\\ = & (4x^2y^2+2xy-y^2+x^2)^2 + (4y^2x+y+x)^2 \end{align}$$

Answer 2

Deje $n=t^2$
$n(n+1)=(t^2)^2+t^2$

También $t^4+t^2=(t^2-1)^2+3t^2-1$ $3t^2-1=k^2$ infinitamente muchos k . (Es una Pell como ecuación y 3 es impar.)

Answer 3

Bastante contento con los enfoques. Considerando $n$ como un cuadrado da un buen camino.

Considere la posibilidad de $n=m^2=p^2+q^2$

Ahora, $n(n +1)= (p^2+q^2) (m^2+1)$

$=(pm+q)^2+(qm-p)^2$

Tenga en cuenta que son dos maneras distintas.

Así, por ejemplo, $m=5k, p=4k,q=3k$

$n(n +1)= (25k^2)^2+ (5k)^2=(15k^2+4k^2)^2+(20k^2-3k^2)^2$

Y sabemos que hay infinitos números de la forma $n=p^2+q^2$ (Pitágoras Trillizos)

Answer 4

Si $n$ es un cuadrado, a continuación, $n(n+1)$ es una suma de dos cuadrados, $n(n+1)=n^2+n$. Si $n$ es un cuadrado de la forma $n=(k+1)^2$ $2k+2$ un cuadrado, a continuación, $n(n+1)$ puede ser escrito como suma de dos cuadrados de otra manera: $$n(n+1)=(k+1)^2(k^2+2k+2)=(k+1)^2k^2+(k+1)^2(2k+2).$$ Por supuesto que hay infinidad de $k\in\mathbb N$ tal que $2k+2$ es un cuadrado.

Answer 5

Si $n=t^2$ es un cuadrado, de todos los impares factores primos de a $n+1$ son igual a $1 \mod 4$, y utilizando el teorema del resto Chino para las ecuaciones $t^2+1=0 \mod p_i$ se puede arreglar ese $n+1$ es divisible por muchos diferentes tales números primos.

La conclusión es que para cualquier $k$, no es una progresión aritmética de los valores de $t$ tal que $n(n+1)$ tiene más de $k$ diferentes representaciones como suma de dos cuadrados, al $n=t^2$. Este es un denso conjunto de $n$ que el resto de soluciones, y sería interesante ver si hay una construcción explícita que tiene mayor densidad, posiblemente tan alto como lineal (ignorando logarítmica de los factores).