La matriz de potencia 30 el uso de eigen valores cuestión

Question

$$ \text{If matrix } A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \text{ then find } A^{30}.$$

Traté de enfoque a través de la diagonalización el uso de eigen valores de método.

Tengo eigen valores como $-1, 1, 1$

Como por diagonalización $ A = P*D*P^{-1}.$ Lo $ A^{30} = P*D^{30}*P^{-1}. $ Pero $ D^30 = I.$

Por eso, $ A^{30} = P*I*P^{-1} = I $

Pero $ A^{30} $ no es igual a I. Si hacemos generales de la multiplicación sin todos estos.

¿Dónde está el error en mi enfoque?

Answer 1

Desde $A$ no es diagonalizable podemos utilizar Jordan en la forma

\begin{align} A^{30} &= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{30} \begin{pmatrix} 1/4 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ -1/4 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 30 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/4 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ -1/4 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 15 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

Answer 2

De otra manera

$$ \eqalign{ A & = \left( {\matriz{ 1 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr } } \right)\quad A^{\,2} = \left( {\matriz{ 1 & 0 & 0 \cr 1 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 1 \cr } } \right)\quad A^{\,2n} = \left( {\matriz{ 1 & 0 & 0 \cr n & 1 & 0 \cr n & 0 & 1 \cr } } \right) \cr & A^{\,30} = \left( {\matriz{ 1 & 0 & 0 \cr {15} & 1 & 0 \cr {15} & 0 & 1 \cr } } \right) \cr} $$

Answer 3

Se han calculado los valores de $A$ a $\{-1, 1, 1\}$. La repetida autovalor puede ser un obstáculo para la diagonalización. En este caso, la geométrica y algebraica de multiplicidades de la autovalor $1$ son diferentes, entonces a no es diagonalizable. Le siguió como si $A$ fueron diagonalizable, entonces este es el error en su planteamiento.

Se ha añadido una pregunta en los comentarios (en lugar de a su pregunta, así que no debería sorprendernos si otras respuestas no la dirección). Veo que otros han demostrado la forma normal de Jordan y la inducción. Otro método es el binario de la descomposición de la exponente y se repite el cuadrado para conseguir el poder-de-$2$ poderes de $A$: \begin{align*} A^1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \text{,} \\ A^2 &= A^1 \cdot A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{,} \\ A^4 &= A^2 \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{,} \\ A^8 &= A^4 \cdot A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{,} \\ A^{16} &= A^8 \cdot A^8 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 8 & 1 & 0 \\ 8 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{,} \\ A^{30} = A^{11110_{\,2}} &= A^{16}\cdot A^8 \cdot A^4 \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 15 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{.} \end{align*} Por supuesto, después de la computación $A^4$ o $A^8$, tal vez uno se daría cuenta de que el patrón de...

Hay un poco más rápido para llegar utilizando el método anterior. $A^{-1}$ es bastante fácil de calcular (el uso de los menores de edad, método de, por ejemplo). $$ Un^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ Then, $A^{30} = (A^{15})^2 = (A^{16} \cdot A^{-1})^2$. Esto reemplaza tres multiplica con una multiplicar y a la inversa. Continuando a pensar sobre esto conduce a la computacionalmente intratable problema de la óptima , además de las cadenas.