Pregunta en la prueba de Eisenbud del Álgebra Conmutativa.

Question

No entiendo la segunda parte de la prueba del Corolario 4.8 (Nakayama del Lema) en Eisenbud del Álgebra Conmutativa.

Deje $I$ ser un ideal contenido en el Jacobson radical de un anillo de $R$, y deje $M$ ser un finitely generadas $R$-módulo.

(a) Si $IM=M$,, a continuación,$M=0$.

(b) Si $m_1,\dots,m_n\in M$ tienen imágenes en $M/IM$ que la generan como una $R$-módulo, el $m_1,\dots,m_n$ generar $M$ como $R$-módulo.

La prueba de (b): Vamos a $N=M/(\sum_i Rm_i)$. Tenemos $$ N/EN=M/(IM+(\sum_i Rm_i))=M/M=0, $$ por lo $IN=N$ e $N=0$ por la parte (a), y la conclusión de la siguiente manera.

No entiendo por qué las dos primeras igualdades de la muestra de la línea de arriba son inmediatos. Podría alguien por favor explique por qué tienen? Gracias.

Answer 1

El punto clave es entender el $R$-submódulo $IN\subset N$.
(Para un elemento $m\in M$, voy a denotar por $\bar m$ su imagen en $N$ en lo que sigue.)

i) ¿Cómo se escribe un elemento típico de que submódulo $IN$ ?
Respuesta : $\Sigma i_k\bar p_k $ con $i_k\in I$ e $p_k\in M$.

ii) ¿Y cómo se escribe un elemento típico de $N$ ?
Respuesta : $\bar m $ con $m\in M$ .
Pero la hipótesis de (b) dice que se puede escribir $m=\Sigma r_l m_l+\Sigma j_tm_t'$ (con $r_l\in R, m'_t\in M , j_t\in I$), por lo que el $\bar m =\Sigma j_t\overline {m_t'}$, un elemento en $IN$ según yo).

Así que, de hecho,$N=IN $ , como se reivindica.

Por el camino, usted puede encontrar un mnemónico para Nakayama del lema aquí.