Computar $\prod_{n=1}^{\infty} (1+x^{2n})$ para $|x|\lt 1$

Question

Calcular para $|x|\lt 1$ : $$\prod_{n=1}^{\infty} (1+x^{2n})$$

Tengo problemas para calcular este producto. Mi trabajo termina contradiciendo y diciendo $x$ tiene que ser igual a $1$ . ¿Alguien sabe cómo hacerlo?

Answer 1

Definir:

$$Q_0:=\prod_{n>0}1-q^{2n},\;Q_1:=\prod_{n>0}1+q^{2n}, \;Q_2:=\prod_{n>0}1+q^{2n-1},\;Q_3:=\prod_{n>0}1-q^{2n-1}.$$

Hay muchas identidades estándar entre las funciones theta y los productos infinitos, como $Q_0,Q_1,Q_2,Q_3.$ Por ejemplo, $1=Q_1Q_2Q_3$ y Ecuaciones del DLMF 20.4.4 y 20.4.5 .

El producto infinito que desea es $\;Q_1.\;$ Para calcularlo a través del Símbolo q-Pochhammer utilice $\;Q_1 = (q^2,-q^2)_\infty = 1/(q^2,q^4)_\infty.\;$ El Secuencia OEIS A000009 la información es de interés.

Answer 2

Tenga en cuenta que

\begin{align*} \prod_{1 \leq k} \left( 1 + z^k \right) &= \left( 1 + z^1 \right)\left( 1 + z^2 \right) \cdots \left( 1 + z^k \right) \cdots \\ &= \sum_{0 \leq n < \infty} f(n) z^n \quad \left| \quad f(n) = \left[ \begin{array}{l} \text{N. of partit. of $n$ into distinct parts} \\ \text{N. of partit. of $n$ into odd parts} \end{array} \Está bien. \derecha. \Fin

y desgraciadamente, el N. de particiones, ya sea según la definición estándar o en partes distintas / Impares, no tiene ninguna función generadora cerrada conocida.