Probar que si $f(x+y)=f(x)f(y)$ y f es continua en $ x=0$, entonces es continua en todo su dominio

Question

Demostrar que, para $f:\Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ si $f(x+y)=f(x)f(y)$ y f es continua en$x=0,$, entonces es continua en todos los $\Bbb{R}$.

No he averiguado cómo probar esto. ¿Qué sugeriría usted?

Ya he tratado de encontrar y de expresión para $f(0)$ bien $0$ o $1$.

Answer 1

En realidad, no necesitamos saber el valor de $f(0)$. Para cualquier $a \in \mathbb{R}$, \begin{align*} \lim_{x \rightarrow a} f(x) & = \lim_{x \rightarrow a} f\big((x-a)+a\big) = \lim_{x \rightarrow a} f(x-a)f(a) \\ & = f\Big(\lim_{x \rightarrow a} (x-a)\Big)f(a) \quad \text{because } \lim_{x \rightarrow a} (x-a) = 0 \text{ and } f \text{ is continuous at } 0 \\ & =f(0)f(a) = f(0+a) = f(a). \end{align*}

Por lo tanto $f$ es continua en $a$.

Answer 2

Caso $1$: Si $f(0) = 1$, luego tenemos

$$\lim_{y \to 0} \;[f(x + y) - f(x) ] = \lim_{y \to 0} \; [f(x)f(y) - f(x)] = \lim_{y \to 0} \;f(x)[f(y) - 1]= f(x)(f(0) - 1) = 0.$$

Caso $2$: Si $f(0) = 0$, entonces estamos de hacer, porque el problema nos dijo $f$ fue continua.