Espectáculo $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{2n-1}\right)^n$ converge

Question

Estoy tratando de mostrar que $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{2n-1}\right)^n$ converge. Utilizando el Límite de Test del Cociente para Series, queremos mostrar que $\lim_{n\to \infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\lvert<1$. Sin embargo, estoy teniendo problemas para encontrar dicho límite (sé que es igual a $\frac{1}{2}$, pero no sé cómo lo muestran). Gracias de antemano

Answer 1

Sugerencia. Uno puede utilizar la raíz de la prueba, lo que es $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\,? $$

Answer 2

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} \left(\frac{n}{2n-1}\right)^n&=\frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2n}}\right)^n\tag1\\\\ &\le \frac{1}{2^{n-1}}\tag2 \end{align}$$

donde ir de $(1)$ a $(2)$ le invoca la Desigualdad de Bernoulli.

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NOTA:

El OP estaba siguiendo un camino a seguir que se basó en la prueba de razón. De continuar, tenemos

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=\lim_{n\to \infty}\frac{\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n}{2n-1}\right)^{n}}\\\\ &=\lim_{n\to \infty}\left(\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)\,\left(1-\frac{1}{n(2n+1)}\right)^n\right)\\\\ &=\frac12 \end{align}$$

puesto que a partir de la Desigualdad de Bernoulli tenemos

$$1\ge \left(1-\frac{1}{n(2n+1)}\right)^n\ge 1-\frac{1}{2n+1}$$

de dónde aplicación del teorema del sándwich revela que el límite es de $1$.

Answer 3

Tenemos $n/(2n-1) \to 1/2.$, por tanto, de un gran $n$ tenemos $n/(2n-1) < 2/3.$ Desde $\sum_n (2/3)^n < \infty,$ el dado de la serie converge por la prueba de comparación.

Answer 4

Usted tiene

$$\left(\frac{n}{2n-1}\right)^n\sim \left( \frac{1}{2}\right)^n\frac{1}{\sqrt{e}}\; (n\to +\infty)$$

$\implies $ los positivos de la serie converge.

Answer 5

Si $a_n = \left(\frac{n}{2n-1}\right)^n$, luego \begin{align} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \left(\frac{n+1}{2(n+1)-1}\right)^{n+1}/\left(\frac{n}{2n-1}\right)^n \\ &= \left(\frac{n+1}{2n+1}\right)\frac{\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^n}{\left(\frac{n}{2n-1}\right)^n} \\ &= \left(\frac{n+1}{2n+1}\right)\left(\frac{(n+1)(2n-1)}{n(2n+1)}\right)^n \\ &=\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)\left(\frac{2n^2+n-1}{2n^2+n}\right)^n. \end{align} Ahora, $\frac{2n^2+n-1}{2n^2+n}<1$, por lo que se deduce que el $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{2n^2+n-1}{2n^2+n}\right)^n}\le 1$. (No es demasiado difícil de demostrar, en efecto, que el límite es exactamente $1$.) Por lo tanto $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|} = \left(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n+1}{2n+1}}\right)\left(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{2n^2+n-1}{2n^2+n}\right)^n}\right)\le\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2} $$ es decir,$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|} < 1$.