Encontrar el determinante de la matriz que implican los coeficientes binomiales

Question

He estado tratando de resolver un problema y he dado mi respuesta en la forma de un determinante, a saber: \begin{align*} \det\begin{pmatrix} \binom{q}{2} & q & 1 & 0 & \dots & 0 \\ \binom{q}{3} & \binom{q}{2} & q & 1 & \dots & 0 \\ \binom{q}{4} & \binom{q}{3} & \binom{q}{2} & q & \dots & 0 \\ \binom{q}{5} & \binom{q}{4} & \binom{q}{3} & \binom{q}{2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \ddots & q \\ \binom{q}{n+1} & \binom{q}{n} & \binom{q}{n-1} & \binom{q}{n-2} & \dots & \binom{q}{2} \end{pmatrix} \end{align*} Esta es probablemente suficiente, pero pensé que tenía que desafió a mí y a desempolvar mi viejo álgebra lineal habilidades. Por desgracia, no va bien. He intentado de fuerza bruta por multiplicarse los coeficientes, pero no creo que es el camino a seguir, porque estoy llegando a ninguna parte. Cada vez que me toque me parece ser el aumento de la complejidad en lugar de disminuir, se...

Hay una buena manera de hacer frente a este problema, o es tan bueno como se pone?

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

parece bastante rígido patrón; aquí mi número sería su $n+1.$ me pongo en el uno con 7 así que usted puede ver que el coeficiente del término del grado más alto. Creo que las constantes factor de forma similar, como $$ 144 = 1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 4, $$ $$ 2880 = 1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot 5, $$ $$ 86400 = 1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot 5^2 \cdot 6, $$ $$ 3628800 = 1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot 5^2 \cdot 6^2 \cdot 7, $$

That leads to a solid recursion, let me call my number $w,$ $$ d_{w+1} = \left( \frac{(q+w-2)(q+w-3)}{w(w-1)} \right) \; d_w $$ Vea si usted puede escribir de manera segura en su notación.

Una cosa que sale es una forma cerrada. Si la parte inferior izquierda del elemento de ha $n+1,$ el determinante sale $$ \frac{1}{n+1} \left( \begin{array}{c} q+n-1 \\ n \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} q+n-2 \\ n \end{array} \right) $$

? det7 = matdet(d)
%26 = 1/3628800*q^12 + 1/151200*q^11 + 7/103680*q^10 + 23/60480*q^9 + 1541/1209600*q^8 + 1/400*q^7 + 1747/725760*q^6 - 13/60480*q^5 - 383/129600*q^4 - 101/37800*q^3 - 1/1260*q^2


===================================================================

? factor(det4 * 144)
%16 = 
[q - 1 1]

[    q 2]

[q + 1 2]

[q + 2 1]


? factor(det5 * 2880)
%15 = 
[q - 1 1]

[    q 2]

[q + 1 2]

[q + 2 2]

[q + 3 1]



? factor(det6 * 86400)
%20 = 
[q - 1 1]

[    q 2]

[q + 1 2]

[q + 2 2]

[q + 3 2]

[q + 4 1]

? 
? factor(det7 * 3628800)
%27 = 
[q - 1 1]

[    q 2]

[q + 1 2]

[q + 2 2]

[q + 3 2]

[q + 4 2]

[q + 5 1]

=========================================================================
? factor(144)
%21 = 
[2 4]

[3 2]

? factor(2880)
%22 = 
[2 6]

[3 2]

[5 1]

? factor(86400)
%23 = 
[2 7]

[3 3]

[5 2]

? 
? factor( 3628800)
%28 = 
[2 8]

[3 4]

[5 2]

[7 1]

Answer 2

No puedo dar una analítica de la prueba, pero esto parece dar los resultados correctos:

$$D=\frac{1}{n!(n+1)!}\frac{(q+n-1)!}{(q-1)!}\frac{(q+n-2)!}{(q-2)!}$$