$\int_{\mathbb R^n}e^{{-|x|}^n}dx$

Question

Estoy tratando de demostrar que $\int_{\mathbb R^n}e^{{-|x|}^n}dx = V(B_{n}(0,1))$ el uso de la inducción y el principio de Cavalieri.

Observe que $\int_{\mathbb R} e^{-|x|}dx = 2 = V(B_1(0, 1))$ por lo que la base de nuestra inducción es cierto.

Ahora supongamos que para algunos $k-1$ tenemos $\int_{\mathbb R^{k-1}}e^{{-|x|}^{k-1}}dx = V(B_{k-1}(0,1))$

Queremos calcular el $\int_{\mathbb R^{k}}e^{-{|x|}^{k}}dx$, se puede elegir para extraer de ella por las esferas ya que esta es una función positiva, por lo que esta será igual a $$\lim_{r \to \infty}\int_{x_1^2+\dots x_k^2 \leq r^2}e^{-|x|^{k}}dx.$$

Considerar la intersección de la esfera con el plano de $x_k = t$. Desde el principio de Cavalieri:

$$ \int_{x_1^2+\dots x_k^2 \leq r^2} e^{-|x|^{k}}dx = \int_{-r}^r \left( \int_{x_1^2+\dots+x_{k-1}^2 \leq r^2-c^2} e^{-(x_1^2+\dots+x_{k-1}^2+t^2)^{k/2}}dx_1dx_2\dots dx_{k-1} \right) dt$$

No sabe a dónde ir desde aquí....

Answer 1

Creo Cavalieri del principio de esta manera: $$ \int_{\Bbb R^n}e^{-|x|^n}\mathrm dx =\int_0^1 \text{vol}\{x:e^{-|x|^n}\ge t\}\mathrm dt. $$ (Explanation: imagine we are given $z=e^{-x^2-y^2}$. We can calculate the volume under the graph by cutting it along $z=t\en (0,1)$, calcular el área de la sección transversal y el re-encuentro de ella.) Esto le da $$\begin{eqnarray} \int_0^1 \text{vol}\{x:e^{-|x|^n}\ge t\}\mathrm dt&=& \int_0^1 \text{vol}\left[(-\ln t)^{\frac{1}{n}}\cdot B_n\right]\mathrm dt\\&=&\text{vol}(B_n) \int_0^1 (-\ln t)\mathrm dt\\&=&\text{vol}(B_n), \end{eqnarray}$$where $B_n$ is a $n$-dimensional unit ball and $c\cdot B_n = \{cx\;|\;x\in B_n\}=B_n(0,c)$.