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demostrando $\lim\limits_{n\to\infty} \int_{0}^{1} f(x^n)dx = f(0)$ cuando f es continua en [0,1]

$$\lim\limits_{n\to\infty} \int_{0}^{1} f(x^n)dx = f(0)$$ cuando f es continua en $[0,1]$

Sé que puede ser demostrado mediante delimitada teorema de convergencia pero, Quiero saber a prueba utilizando sólo las propiedades básicas de la integral de riemann y el teorema fundamental del cálculo y MVT para las integrales ... Gracias.

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Andrew Puntos 1

tomar cualquier $\epsilon$, elija $\delta > 0$ tal que $|f(x) - f(0)| < \epsilon$ a $[0,\delta]$. elija $n$ lo suficientemente grande tal que $(1-\epsilon)^n < \delta$ luego $$ |\int_0^1 f(x^n) dx - f(0) |= |\int_0^{(1-\epsilon)} [f(x^n) - f(0)]|dx + \int_{1-\epsilon}^1 [f(x^n) - f(0) ]dx | \leq $$ $$ \int_0^{(1-\epsilon)} |f(x^n) - f(0)|dx + \int_{1-\epsilon}^1 |f(x^n) - f(0) |dx $$ el primer factor es menor que $\epsilon(1 - \epsilon)$ gracias a la elección de $\delta$ e $n$, la segunda es menor que $\epsilon \cdot 2 \sup |f|$ debido a la longitud de su intervalo de integración es $\epsilon$ por lo que el resultado sigue desde $\epsilon$ fue arbitrariamente pequeño

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Ilya Haykinson Puntos 520

Sugerencia:

$f(0)=\int_0^1 f(0) dx$

$x^n\to 0$ para $0\leq x<1$

y $f$ es continua.

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pete Puntos 1

Guapo sugerencia:

Probarlo para $g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(0\right)$ donde $g\left(0\right)=0$ y, a continuación, hacer uso de $\int_{0}^{1}f\left(x^{n}\right)dx=\int_{0}^{1}g\left(x^{n}\right)+f\left(0\right)dx=\int_{0}^{1}g\left(x^{n}\right)dx+f\left(0\right)$.

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