la distancia métrica regular espacios

Question

Un espacio métrico (V,d) se llama distancia regular si para cada distancias a>0, b, c un número entero no negativo p(a,b,c) es definido, por lo que siempre que d(B,C)=a, no son precisamente p(a,b,c) los puntos de Un tales que d(a,B)=c, d(a,C)=b.

El plano Euclidiano es un ejemplo: p(a,b,c)=0,1, o 2 cuando el triángulo de la desigualdad de la a,b,c, en consecuencia, se produce un error, se convierte en la igualdad, o sea estricto.

Si también se exige que p(a,b,c)>0 siempre que el triángulo de la desigualdad no falla, entonces suponemos que esta es la única posibilidad para los parámetros p(a,b,c). Es decir, puede haber muchos que no son isomorfos ejemplos, pero los parámetros serán los mismos para todos ellos. (Gracias a Heather por esta aclaración.)

Nadie ha formulado/probado/refutado esta conjetura antes? Se ve muy natural.

UPD. Yo debería haber mencionado esto: "para cada una de las distancias a>0, b, c" significa todos los reales no negativos, y lo mismo para "siempre que el triángulo de la desigualdad no falla". En particular, esto significa que todos los reales positivos distancias en realidad ocurren.

UPD2. Después de una semana de prueba, la pregunta parece ser nuevo, abrir, y muy interesante. Anton suugested una línea de ataque, y creo que puedo escribir la prueba de la primera etapa: que p(a,b,c)=1 cuando el triángulo de la desigualdad se convierte en la igualdad. Fedja producido ejemplos que muestran que este primer paso es de hecho esencial. Voy a agregar el "problema abierto" etiqueta a la pregunta.

Answer 1

Tenga en cuenta que cualquier métrica con el único infinito geodesics en $\mathbb R^2$ tiene esta propiedad. En particular, el plano hiperbólico, como señaló Heather Macbeth. También incluye plano de Minkowski con bola suave y todo completo negativamente curva de Riemann métricas en $\mathbb R^2$.

Así que es mejor preguntar:

• Es cierto que la función $p$ es la única posible? ($p(a,b,c)=0,1,$ o $2$ cuando el triángulo de la desigualdad de la a,b,c, en consecuencia, se produce un error, se convierte en la igualdad, o es estricto).

• Es cierto que el espacio tiene que ser homeomórficos a $\mathbb R^2$?

Boceto para localmente compacto caso La enfermedad implica la existencia de línea (es decir, infinito minimizar geodésica) a través de cualquier par de puntos. Esta línea debe ser único; de lo contrario, para algunos valores de $p(a,b,a+b)=\infty$ para algunos valores de $a,b$.

Si el espacio es localmente compacto de después de la línea depende continuousely en los puntos. Para algunos puntos de $a_1, a_2, a_3, a_4$ geodésica $a_1a_2$ conectar cada punto de a $a_3$ y conectar cada punto de este trianle a $a_4$. De esta manera obtenemos un cono-mapa de 3-simplex en su espacio. Si es no degenerada (es decir, la imagen no coinsides con la imagen de su límite), entonces sería fácil conseguir un triple de un pequeño número $a,b,c$ tal que $p(a,b,c)=\infty$, con lo que llegamos a una contradicción.

Así, el espacio debe ser de 2 dimensiones y con el único infinito geodesics --- apuesto a que debe ser homeomórficos a $\mathbb R^2$. Luego de ello se sigue que $p(a,b,c)=0,1$ o $2$ como se define arriba.

Answer 2

Todo estaría bien si no para el siguiente. El uso de la inducción transfinita, usted puede construir fácilmente un conjunto en $\mathbb R^3$ que se cruza cada círculo por cualquier número de puntos mayor que 2 que desee en función del radio del círculo. De hecho, la cardinalidad del conjunto de todos los círculos es continuo. Ahora tomar cualquier completar el pedido de este conjunto, de modo que el comienzo de cada intervalo tiene cardinalidad menos de continuidad y comenzar a añadir puntos a menos de un círculo que todavía tiene muy pocos puntos en ella. Claramente, los puntos que se pueden sobrecargar los otros círculos deben estar en algunos círculos con al menos 3 puntos ya, pero esas son las menos de continuo en cada paso de la inducción, por lo que se cruzan en nuestro círculo por menos de un continuo de puntos y hay continuidad puntos de nuestro círculo para elegir. Así, en cada paso que podemos hacer una buena elección.

No hace falta decir que esto puede ser generalizado bastante, así que no estoy seguro si hay alguna restricción en la $p$ absoluto mientras hablamos arbitraria de espacios métricos. Ahora, si nos imponer restricciones adicionales, la situación cambia mucho. La mínima restricción a imponer es que el espacio se completa. Podemos hacer que los ejemplos no triviales ahora?

Answer 3

Considerar la unidad de la esfera. Entonces p(π, π/2, π/2) = ∞. Los polos norte y sur son la distancia π aparte, y cada punto en el ecuador es la distancia π/2 de ellos.

Obligando a todos los reales positivos distancia a ocurrir no cambia las cosas. Corte un agujero en algún lugar en la esfera y reemplazarlo con un cilindro de estiramiento de descuento hasta el infinito. Es decir, la nueva superficie es un infinito lollipop. Aún así, p(π, π/2, π/2) = ∞.

El problema aquí es que la esfera está muy lejos de haber única geodesics.