Mayor autovalor de a $A^T A$ de la matriz?

Question

Tengo un gran real de la matriz a de tamaño $40K\times 400K$, es allí una manera eficiente para calcular el mayor autovalor de $A^T A$ (tamaño de la $400K\times 400K$)?

Gracias.

Answer 1

Si desea que el autovalor de mayor magnitud (no el mayor autovalor positivo) el más eficiente algoritmo es el poder de la iteración: escoger un vector inicial $v_0$, luego iterar

$$v_i = A^T\left(A\frac{v_{i-1}}{\|v_{i-1}\|}\right).$$

A continuación, $\|v_i\|$ le converge casi seguramente a la mayor magnitud autovalor de $A^TA$.

EDIT: Aviso de que la computación $A^TA$ es excesivamente caro y no necesita ser hecho; la utilidad de alimentación de la iteración es la que se encuentra el mayor autovalor utilizando sólo la matriz-vector de productos. He añadido entre paréntesis para aclarar.

EDIT 2: por supuesto, ya que $A^TA$ es simétrica positiva semidefinite, los autovalores son no negativos y de mayor magnitud autovalor es también el mayor autovalor.