Mostrar que para este holomorphic función $ f$, $|f(z)| \le 4|$ si $|z|=2$

Question

Deje $f$ ser un holomorphic función en algunos de vecindad $U$ de el anillo de $ D = \{ z: 1 \le |z| \le 3 \} $ tal que $ |f(z)| \le 1 $ para $ |z| = 1 $ e $ |f(z)| \le 9 $ para $ |z| = 3 $. Demostrar que $ |f(z)| \le 4 $ para $ |z| = 2 $.

Esto se parece a algo que debería ser muy sencillo ejercicio, pero por alguna razón no puedo ver ninguna manera de usar los básicos de análisis complejos teoremas/desigualdades para acercarse a la solución de este.

Answer 1

Sugerencia: aplicar el Máximo Módulo de Principio a la función $$ g(z)=\frac{f(z)}{z^2}. $$