Las pruebas de la diagonalizability de la matriz $B= \left(\begin{array}(\lambda_1 & a & b \\ 0 & \lambda_1 & c\\ 0 & 0 & \lambda_2\end{array}\right)$

Question

Cómo demostrar que la matriz de

$$B= \left(\begin{array}(\lambda_1 & a & b \\ 0 & \lambda_1 & c\\ 0 & 0 & \lambda_2\end{array}\right)$$

es diagonalizable cuando $a\neq0$, cuando se $\lambda_1\neq \lambda_2$. ¿Cómo se trabaja esto? Traté de comparar la algebraicas y geométricas de multiplicidades de los autovalores de $B$ pero no tuve éxito en este enfoque todavía.

Answer 1

Basta con señalar que $B - \lambda_1 I$ ha nulidad (null-dimensión de espacio) $1$ al $a \neq 0$ e $2$ al $a = 0$. Así, la multiplicidad geométrica de $\lambda_1$ es $1$ al $a \neq 0$ e $2$ al $a = 0$.

Answer 2

Claramente, cuando la dimensión es $3$ y las repetidas diagonal entradas aparecen sólo en bloques contiguos, el problema no es realmente un factor desestabilizador.

El caso cuando la dimensión es $n$ es estudiado en Si una matriz es triangular, es que hay una forma más rápida para saber si se puede diagonalized?

Cuando el repetido diagonal entradas aparecen sólo en bloques contiguos, la matriz $B$ es similar a la matriz de la diagonal de bloques; aquí $B$ es similar a $diag(\begin{pmatrix}\lambda_1&a\\0&\lambda_1\end{pmatrix},\lambda_2)$. Por lo tanto $B$ es diagonalizable iff cada bloque es la diagonal; en consecuencia, la complejidad de este algoritmo es $0$ operación algebraica.

El caso cuando la igualdad de autovalores son no agrupados es mucho más difícil. No hemos sido capaces de encontrar un algoritmo que hace el trabajo en $O(n^2)$, e incluso en $o(n^3)$.

Que se puede hacer mejor?