Función de recuento de primos: Evaluación

Question

Según Riemann (creo) la función (exacta) de recuento de primos viene dada por: $$ \pi(x) = \operatorname{R}(x^1) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^{\rho}) \tag{1} $$ con $ \operatorname{R}(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \mu (n)}{n} \operatorname{li}(z^{1/n})$ y $\rho$ atropellando todos los ceros del $\zeta$ función.

¿Por qué no se utiliza esta función en general para calcular $\pi(x)$ ? ¿No debería ser una gran aproximación si muchos ceros de la $\zeta$ se utilizan? ¿Probablemente hoy en día se conocen muchos ceros? Hasta ahora pensaba $\pi(x)$ es una función muy "dura", porque la distribución de los primos es bastante dura, pero esta fórmula explícita no parece tan dura.

Gracias, señor.

Answer 1

No conozco una prueba formal de la identidad $$\pi(x) = \operatorname{R}(x^1) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^{\rho}) \tag{1}$$ pero la forma en que se obtuvo esta identidad está bastante clara y, de hecho, se "insinúa" en El famoso artículo de Riemann (véase el original en alemán y la traducción al inglés en el enlace de la derecha).
La parte que falta parece ser la prueba de la convergencia de la serie sobre $\rho$ (suponiendo los ceros no triviales ordenados por distancia creciente al eje real).

La idea para la derivación (¡no la prueba!) es empezar con la prueba de von Mangoldt de que (cf. El libro de Edwards p. $48$ ) : $$\tag{2}f^*(x)=\operatorname{li}(x)-\sum_{\rho} \operatorname{li}(x^{\rho}),\quad(x>1)$$ (notación: $f$ puede sustituirse por $J$ o $\Pi$ o (confusamente) $\pi$ y $f^*$ aparecen como $f_0$ )
con $\ \displaystyle\operatorname{li}(x):=\int_2^x \frac{dt}{\log\,t}\,$ (variante de Riemann de la integral logarítmica )
y con $\ \displaystyle f^*(x):=\sum_{p^k\le x}^{*}\frac 1k$ (el $^*$ significa que el último término $\dfrac 1k$ debe sustituirse por $\dfrac 12\dfrac 1k\;$ si $p^k=x$ )

vinculado al función de recuento de primas $\ \displaystyle\pi^*(x):=\sum_{p\le x}^{*}1\ $ por $\ \displaystyle f^*(x)=\sum_{k>0} \frac{\pi^{*}\bigl(x^{1/k}\bigr)}k\qquad (3)$

De hecho, sólo tenemos que aplicar el Fórmula de inversión de Möbius $\ \displaystyle\pi^{*}(x):=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(k)}k f^*\bigl(x^{1/k}\bigr)\ $ a $(2)$ para obtener (con convergencia cuestionable...) : $$\tag{4}\boxed{\displaystyle\pi^*(x)=R(x)-\sum_{\rho} R(x^{\rho})},\quad(x>1)$$ Donde Riemann $\,\displaystyle R(x):=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(k)}k \operatorname{li}\bigl(x^{1/k}\bigr)\,$ puede escribirse como Serie Gram (esta parte es una edición de mi derivación más completa ).

$$-$$

Volviendo a su pregunta "¿Por qué no se utiliza esta función en general para calcular $\pi(x)$ ?". De hecho, se utilizó y de una manera bastante exitosa como se muestra aquí con algunas referencias y el historia de Buthe aquí . Tenga en cuenta que $(1)$ a veces tenían que ser sustituidas por variantes más eficaces :

• Lagarias y Odlyzko (1987) "Informática $\pi(x)$ : Un método analítico"
• Tesis de Galway (2004) "Cálculo analítico de la función de recuento de primos" (véase también su página de inicio )
• Kotnik (2008) "La función de recuento de primos y sus aproximaciones analíticas"
• Platt (2013) "Calcular (x) analíticamente"
• Büthe (2015) "Un método analítico mejorado para calcular $\pi(x)$ "

Siguiente animación utilizada $(1)$ con un número creciente de ceros para generar $\pi(x)$ :

(Lo creé para la cuidada página de Matthew Watkins " 'codificación' de la distribución de números primos por los ceros no triviales de la función zeta de Riemann" )

Es importante comprender que $\;\displaystyle R(x)-\sum_{\rho\ \text{real zero}}R(x^{\rho})$ es la parte lisa inicial. Sin los ceros no triviales, no se vería ningún escalón. Pero para que los pasos sean visibles se necesitan suficientes ceros (véase, por ejemplo, p. $12$ de Platt que utilizó casi $70$ miles de millones de ceros para calcular $\pi(10^{24})$ y una comparación con los métodos combinatorios utilizados por Oliveira e Silva).

Answer 2

Borwein, Bradley y Crandall afirman en la página 249 aquí que

... debería darse el caso de que, en algún sentido apropiado $$ \pi(x) \sim \text{Ri}(x) - \sum_{\rho} \text{Ri}(x^\rho) \tag{4} $$ con $\text{Ri}$ denotando la función de Riemann defind: $$ \text{Ri}(x) = \sum_{m=1}^\infty \frac{\mu(m)}{m}\text{li}(x^{1/m}). \tag{5} $$ Esta relación (4) se ha calificado de "exacta" [94], pero no hemos encontrado ninguna prueba en la literatura. una prueba de este tipo debe ser no trivial, ya que las series condicionalmente convergentes implicadas son problemáticas. En cualquier caso, la relación (4) es bastante exacta...

Así que parece que no sabemos realmente si esta relación es cierta o no.

Pero como dice la cita aparece esta relación proporciona al menos una buena estimación de $\pi$ . De hecho $\text{Ri}(x)$ por sí sola proporciona una buena estimación de $\pi(x)$ . Por ejemplo, $\pi(10^{20}) = 2220819602560918840 $ y aquí está $\text{Ri}(10^{20})$ evaluados en Mathematica:

In[186]:= Floor[RiemannR[10^20]]

Out[186]= 2220819602556027015

Esto da un error relativo de aproximadamente $2.2 \cdot 10^{-12}$ lo que significa que los 11 primeros dígitos son correctos.

¿Qué tal si incorporamos los ceros $\rho$ ? Bueno, en realidad parece que empeoran las cosas (al menos para un número "pequeño" de ceros). Tomé la primera $14400$ ceros de $\zeta$ con una precisión de 30 dígitos, y obtuvo una respuesta con error relativo $3.1 \cdot 10^{-7}$ . De hecho, cuantos más ceros elegía, peor era el error relativo.

Así que para responder a su pregunta, creo que esta fórmula parece proporcionar una excelente aproximación para $\pi(x)$ . Sin embargo, al final sólo podremos obtener una aproximación, no una respuesta exacta.