Forma de calcular el exponente en una ecuación congruente

Question

Quiero resolver

$$5^{x} \equiv 21 \pmod {23}$$

¿Hay alguna manera de obtener el $x$ ¿sin ensayo y error?

Answer 1

Tenemos $5^{11}\equiv -1\pmod {23}$ porque $\left(\frac5{23}\right)=-1$ y también $5^2\equiv2\pmod{23}$ por lo que $$5^{13}\equiv 5^{11}5^2\equiv -2\equiv 21\pmod {23}$$ Y el número $13$ es la más pequeña porque la función $5^x$ es periódico módulo $23$ con el período $\varphi(23)=22$ .