Me encontré con esta desigualdad en la conferencia 38 del canal de Youtube de la Universidad de Missouri:
Álgebra Universitaria - Clase 38 - El Teorema Binominal
El profesor nos pide en el minuto 1:01:00 del vídeo que demostremos que " $1001^{999} < 1000^{1000}$ " y arroja la desigualdad anterior como un hecho que podemos utilizar en nuestra demostración. Demostrando que " $1001^{999} < 1000^{1000}$ "utilizando la suposición de que ${n\choose r} < (n+1)^r$ es bastante fácil. Pero no quiero aceptar de memoria que ${n\choose r} < (n+1)^r$ . Así que traté de demostrarlo usando la inducción para cualquier valor de $r$ . He demostrado que el caso base cuando $r=1$ es cierto. Luego pasó a demostrar que si es cierto para cualquier $r$ , entonces es cierto para $r+1$ también. Aunque lo probé usando la inducción, es una prueba realmente fea y desordenada. Así que, por favor, dame una prueba limpia para esta desigualdad. Estoy seguro de que sería muy fácil para cualquier colaborador habitual de este foro. Gracias.
P.D.: Por favor, tened paciencia con mi palabrería en este momento. Es que todavía no sé cómo formatear mi texto o usar símbolos matemáticos en este foro (Será bueno que me digas de paso dónde aprender el código de marcado y formateo de este foro).
