¿Qué es un invariante local?

Question

Deje $(M,g)$ ser un colector de Riemann. A continuación, se suele decir que el $M$ local invariantes asociados a $g$. Por ejemplo, la curvatura de la de Levi-Civita de conexión asociados a $g$. Mi pregunta es: en qué sentido estos curvatura objetos relacionados local invariantes?

Además, se suele decir que un simpléctica colector $(M,\omega)$ no tiene local invariantes asociados a la forma simpléctica $\omega$. Supongo que esto está relacionado con el teorema de Darboux, lo que implica que a nivel local cada forma simpléctica es el estándar de la forma simpléctica, pero, ¿cuál es la forma exacta de esta declaración?

Gracias.

Answer 1

Local invariantes en un sentido amplio, son cantidades que pueden ser utilizados para distinguir los colectores dotado de algún tipo de estructura, al menos a nivel local. Existen global invariantes demasiado. Por ejemplo, en un plano Euclidiano, dadas dos circunferencias de radios desiguales podemos decirles la una de la otra por un global Euclidiana invariable (el perímetro), o por un local de invariantes (la inversa de la radio, también conocido como la curvatura).

Para hacer el concepto de local invariante más precisa recordemos que generalmente se identifican isomorfo objetos en una categoría. Si nos enfrentamos con un colector equipado con una estructura geométrica (generalmente se administra como un tensor, o un conjunto de tensores, satisfactorio, tal vez, algunas condiciones adicionales), entonces podemos pensar en una categoría de local diffeomorphisms, la preservación de esta estructura. Para una estructura de Riemann hablamos de isometrías, y para la estructura simpléctica hemos symplectomorhisms.

Local invariantes son, de nuevo, algunos tensorial (coordenadas independientes) las cantidades, que no cambian con la estructura de la preservación de la diffeomorphisms. En el caso de Riemann tenemos la curvatura de Riemann, y todos sus covariante derivados, y sus contracciones, y todas las posibles combinaciones lineales de tales cantidades. El hecho de que la curvatura de Riemann es un local invariante se refiere a veces como "la connaturalidad de la curvatura de Riemann".

El teorema de Darboux para la geometría simpléctica establece que todos los simpléctica colectores son localmente symplectomorhpic (que es equivalente a la existencia de las coordenadas de Darboux). Por lo tanto no hay locales de invariantes.

Un ejemplo más avanzado sería el unformization teorema, lo que implica que en dimensión dos no hay locales de conformación de invariantes. Por cierto, hay un ejemplo famoso de un mundial de conformación invariantes de una superficie (2 dimensiones) en las 3 dimensiones del colector, el Willmore de energía.