¿Por qué la topología de un gráfico se llama "topología"?

Question

La topología de un grafo (es decir, la topología de un grafo), por lo que sé, no tiene nada que ver con los conjuntos abiertos o cerrados, ni tiene ninguna definición coherente y rigurosa en la práctica.

Entonces, ¿por qué se llama topología?

Además, los complejos simpliciales se parecen a los grafos: ¿está su topología relacionada con esta "topología"?

Posiblemente relacionado: ¿Es una "topología de red" un espacio topológico? Pero aquí estoy preguntando por la etimología del término (la topología creía que se había inventado específicamente para el campo matemático, ¿por qué se llama así a la topología de un gráfico, que no está necesariamente relacionado? ¿Por qué no lo llaman la conectividad o algo así?)

Answer 1

Aunque la topología se "implementa" utilizando conjuntos abiertos y cerrados, etc., en última instancia es el estudio de las propiedades que son invariantes bajo cosas que se estiran continuamente. Al estar modificada por tantas transformaciones, tiene un sabor claramente cualitativo y, por tanto, capta muchas de nuestras intuiciones que, de otro modo, serían difíciles de escribir sin su lenguaje. Por ejemplo, la noción muy intuitiva de forma se formaliza a través de la topología. La pregunta más básica -¿son estas dos formas la misma? - todavía nos inquieta, y nos ha llevado a invariantes algebraicos como el grupo fundamental, la homología y la cohomología, etc.

¿Qué tienen que ver los gráficos con eso? Es cierto que la forma de dibujar un gráfico no importa para sus propiedades, pero cuando los matemáticos hablan de la topología de un gráfico hablan de fenómenos que van más allá. Se me ocurren tres razones: En primer lugar, hay preguntas cualitativas naturales de ese tipo que también se pueden hacer sobre los grafos, como si está conectado, "cómo" está conectado, si hay cuellos de botella En segundo lugar, los grafos surgen como aproximaciones discretas de objetos topológicos de mayor dimensión, y muestran propiedades "topológicas" análogas. Y en tercer lugar, abordar los grafos desde un punto de vista topológico ha demostrado ser fructífero. Estoy seguro de que hay muchas ilustraciones bonitas de todo esto, pero aquí está mi bolsa de ejemplos.

Por un lado, el problema de planaridad que ha sido resuelta, clasifica los gráficos $G$ que se puede incrustar "fielmente" en el plano, es decir, sin intersecciones de aristas. No es de extrañar que haya una condición de sabor topológico: hay ciertos subgrafos ( $K_{3,3},K_5$ ) que son topológicamente prohibido surgir en $G$ en el sentido de que no podemos subdividir las aristas de $K_{3,3}$ o $K_5$ introduciendo nuevos vértices a lo largo de ellos para obtener un subgrafo de $G$ . Estas preguntas se generalizan, por lo que se puede preguntar, ¿qué gráficos se pueden incrustar en una superficie dada fielmente? El libro Teoría topológica de los grafos de Gross y Tucker considera estas cuestiones, y utiliza el análogo teórico de los gráficos de un espacio de cobertura de la topología algebraica.

Para otro ejemplo quizá menos relacionado, a veces tiene sentido hablar del geometría de un gráfico también: por ejemplo, si tiene un gráfico de expansión es una consecuencia directa de la definición de que el volumen de una bola de radio $r$ en un vértice crece exponencialmente con $r$ ; en otros gráficos, como un $d$ -por ejemplo, crece polinomialmente. Así que un expansor se parece más a un espacio hiperbólico, mientras que la cuadrícula se parece más a un espacio euclidiano.

Para un ejemplo más, el Constante de Cheeger que describe "cuán conectado" está un colector tiene análogos cercanos para los gráficos.

Como último ejemplo (soy parcial porque he trabajado en ello), el estudio de los mencionados espacios de cobertura de los grafos ha conducido a algunos desarrollos interesantes en la teoría espectral de los grafos, tales como este y parece que (véase el trabajo de Amit y Linial sobre los levantamientos de grafos) las coberturas de un grafo son un espacio de probabilidad interesante, que en particular nos da un modelo útil para los grafos regulares aleatorios que el modelo Erdos-Renyi no ofrece.

(¡y de hecho la entrada de la wikipedia sobre topología comienza la historia del tema con el problema de los puentes de Euler de Konigsberg! )