Funciones inversas y sus puntos de intersección

Question

Digamos que tienes $f(x)$ y $g(x)$ y $g(x) = f^{-1}(x)$.

Observé que estas dos curvas no necesariamente se intersectan, por ejemplo con $f(x) = e^x$ y $g(x) = \ln x$ que nunca se intersectan entre sí.

También observé que una función puede tener una, dos o tres intersecciones con su inversa, pero no pude encontrar una función que tenga más de 3 puntos de intersección con su inversa.

¿Cómo podría demostrar o refutar la hipótesis de que una función elemental y su inversa solo pueden tener hasta 3 puntos de intersección? ¡Se agradecen los contraejemplos!

Answer 1

Considera $f(x) = x$.

Nota que $g(x) = f^{-1}(x) = x = f(x)$.

¡Así que hay infinitas intersecciones!

Buena solución. Estoy al tanto de la solución de intersecciones infinitas, ¿pero alguien tiene alguna función que tenga 4 o más intersecciones con su inversa (pero no un número infinito de intersecciones)?

Considera, sobre cualquier intervalo finito digamos $X$, $f(x) = x + \sin x$.

Sobre el intervalo $X$ hay un número finito de intersecciones. El número exacto depende de $X$ mismo. Pero puedes tener cualquier número finito de intersecciones.

Al principio, no estaba seguro de cómo encontrar la inversa de esa función, ¡así que decidí graficarla para verificar mi afirmación y tengo razón!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=find+inverse+of+f(x)+%3D+x%2Bsin(x)

Answer 2

De hecho, puedes tener un número arbitrario de intersecciones con una inversa. Considera, por ejemplo, la función $f(x) = \sin(x) + x$ que tiene una inversa en $\mathbb R$ (porque es estrictamente monótona casi en todas partes ya que $f'(x) = \cos(x)+1 \geq 0 \forall x$ y $f'(x) = \cos(x)+1 > 0 \forall x \in \pi(\mathbb Z +1/2)$) y tiene un número infinito de intersecciones discretas con su inversa:

Answer 3

Tengo un contraejemplo fácil:

$$f(x)=10\cos(x)$$ y su inversa, $$g(x)=\cos^{-1}(x/10)$$

Echa un vistazo al gráfico en desmos, eso debería convencerte. De hecho, ¡puedes aumentar el 10 para obtener arbitrariamente muchas intersecciones!

Como respuesta más general a tu pregunta, el número de intersecciones estará relacionado con la cantidad de veces que $f$ cruza la línea $y=x$ ya que la inversa de $f$ es solo un reflejo de $f$ sobre esa línea.

Answer 4

Supongo que $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una biyección, de modo que $g$ está definida en todo $\mathbb{R}$. Esto se puede ajustar a otras situaciones (por ejemplo $\mathbb{R} \rightarrow (0,\infty)$ en el caso de la función exponencial, entonces $g$ solo está definida en $(0,\infty)$.)

Supongamos que $f(x_0) =x_0$, entonces $g(x_0)=g(f(x_0))=x_0=f(x_0)$, es decir, cada punto $x_0$ en el que el gráfico de $f$ interseca la diagonal de $\mathbb{R}^2$ será un punto de intersección de $f$ y $g$. Esto tiene sentido gráficamente, ya que tomar la inversa de una función corresponde a reflejar su gráfico en la diagonal.

Esto muestra que se pueden tener arbitrariamente muchos puntos de intersección de $f$ y $g$.

Answer 5

Además de los ejemplos particulares dados en la respuesta anterior, para cualquier función $y=f(x)$, el gráfico de su función inversa $f_{(-1)}(x)$ será simétrico con respecto a la línea diagonal $y=x.

Si $f(x)$ no cruza la diagonal (como $e^x$), entonces su inversa tampoco lo hará. Y cualquier cero de $f(x)-x$ será el mismo para $f_{(-1)}(x)-x$, y un punto de cruce de las dos funciones.