Las medidas que coinciden en cada$(a,b)$ son iguales

Question

De Bajo, Análisis Real para los Estudiantes de Posgrado:

Supongamos $X$ es el conjunto de los números reales, $\mathcal B$ el Borel $\sigma$-álgebra y $m$ e $n$ son dos medidas en $(X,\mathcal B)$ tal que $m((a,b))=n((a,b))<\infty$ siempre $-\infty<a<b<\infty$. Demostrar que $m(A)=n(A)$ siempre $A\in \mathcal B$.

Estoy pensando en la $\pi-\lambda$ teorema es muy útil en esta situación. Por todo esto, estoy inclinado a dejar que $\mathcal C = \{(a,b), a<b\}$ e $\mathcal D = \{A\in \mathcal B, m(A)=n(A)\}$.

$C$ es, obviamente, una $\pi$-sistema, y espero que $\mathcal D$ a ser un Dynkin sistema (también conocido como $\lambda$-sistema). Es fácil demostrar que $\mathbb R\in \mathcal D$ e $\mathcal D$ es cerrado bajo el aumento de la unión. Sin embargo, no me estoy quedando con algunos problemas al intentar demostrar que $\mathcal D$ es estable bajo complemento...

De hecho, dado $A,B$ en $\mathcal D$ tal que $A\subset B$ , el siguiente se tiene:

$m(B) = m(B\setminus A) + m(A)$, por lo tanto $n(B) = m(B\setminus A)+n(A)$.

Pero del mismo modo, $n(B) = n(B\setminus A) + n(A)$.

Por lo tanto $m(B\setminus A)+n(A) = n(B\setminus A) + n(A)$

El problema es, $1+\infty = 2+\infty $, sin embargo,$1\neq 2$. No puedo derivan $m(B\setminus A) = n(B\setminus A)$ si $n(A)<\infty$, lo que no puede ser cierto...

Tenga en cuenta que no he utilizado finitess de $n$ e $m$ a $(a,b)$, pero ...

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Siguiente BigbearZzzsugerencia, vamos a $\mathcal D_k = \{A\in \mathcal B, m(A\cap E_k) = n(A\cap E_k)\}$.

Voy a probar que $\mathcal D_k$ es un sistema de Dynkin tal que $\mathcal C\subset \mathcal D_k$.

• $m(\mathbb R\cap E_k) = m(E_k)=m((-k,k))=n((-k,k))=n(\mathbb R\cap E_k)$ por lo tanto $\mathbb R\in \mathcal D_k$
• Deje $A,B\in \mathcal D_k$ tal que $A\subset B$. Tenga en cuenta que $E_k\cap (B\setminus A) = (E_k\cap B)\setminus (E_k\cap A)$ y el tanto $(E_k\cap B)$ e $(E_k\cap A)$ tiene medida finita(para $m$ e $n$). Por lo tanto, $$\begin{align}m(E_k\cap (B\setminus A)) &= m(E_k\cap B)-m(E_k\cap A)\\&=n(E_k\cap B)-n(E_k\cap A)\\&=n(E_k\cap (B\setminus A))\end{align}$$

Por lo tanto $B\setminus A\in \mathcal D_k$

• Si $(A_i)$ es un aumento de la secuencia de elementos de $\mathcal D_k$, $$\begin{align}m(E_k\cap (\cup_i A_i)) &= m(\cup_i(E_k\cap A_i))\\&= \lim_im(E_k\cap A_i)\\ &=\lim_i n(E_k\cap A_i)\\ &=n(E_k\cap (\cup_i A_i)) \end{align}$$

Por lo tanto $\cup_i A_i \in \mathcal D_k$

• $\mathcal C \subset \mathcal D_k$ porque $\mathcal C$ es cerrado bajo intersección finita.

$\pi-\lambda$ teorema de los rendimientos $\sigma(\mathcal C)\subset \mathcal D_k$ es decir $\mathcal B\subset \mathcal D_k$. Esto significa que para cualquier $A\in \mathcal B$, $m(A\cap E_k) = n(A\cap E_k)$.

Para terminar, dado $A\in \mathcal B$, $$\begin{align} m(A)&=m(\cup_i (A\cap E_i))\\ &= \lim_i m(A\cap E_i) \\ &= \lim_i n(A\cap E_i) \\&= n(A) \end{align}$$