Supongamos que$H$ es un espacio vectorial equipado con un producto interno$(\cdot, \cdot)$ y$f:H\to H',\ f(x)=(\cdot,x)$ de supuestos. Ahora, ¿por qué$H$ es un espacio de Hilbert? La otra dirección está clara por el teorema de representación de Riesz, pero ¿qué pasa con esto?
Respuesta
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El mapa$f$ es claramente inyectivo, y una isometría. Supongamos que es superyectivo: entonces$H$ es isométrico a su espacio dual. Para cualquier espacio vectorial normado$X$ y espacio Banach$Y$, el espacio de mapas lineales continuos$$\mathrm{L}(X,Y)$ $ equipado con la norma habitual es automáticamente un espacio Banach, en particular para cualquier espacio vectorial normado$X$, su doble topológico$X'$ es un espacio de Banach. Por lo tanto,$H$ es isométrico a un espacio de Banach, completo y por lo tanto$H$ es un espacio de Hilbert.
