preguntas de expansión binomial

Question

Son las siguientes respuestas correctas y si no, ¿cómo puedo corregirlo?

(a) Escribir la expansión de $(2h+t)^5$.

Sé triángulo de Pascal tiene coeficientes 1, 5, 10, 10, 5, 1 para un quinto grado de la binomial. Por lo que debe tener $$1(2h)^5(t)^0+5(2h)^4t^1+10(2h)^3t^2+10(2h)^2t^3+5(2h)^1t^4+1(2h)^0t^5.$$

Simplificando esta debe dar a me $$32h^5+80h^4t^1+80h^3t^2+40h^2t^3+10ht^4+t^5.$$

(b) Considerar el resultado anterior como una descripción de un tirón 5 injusto monedas. Aunque la moneda es injusto, que los dos resultados son igualmente probables?

No estoy seguro de porque normalmente el resultado es igualmente probable que si la moneda es justo, pero aquí voy a asumir que es el resultados con los mismos coeficientes? No sé por qué, a pesar de que. También no he aprendido alguna probabilidad en clase, y esto fue de un examen que me equivoqué.

(c) Considere de nuevo el $(2h+t)^{100}$. Imagina que añaden cada coeficiente de en la expansión. ¿Cuál sería el total?

Por lo que sería

$$\sum_{n=0}^{100} 2^n*1^{100-n}.$$

Answer 1

(b) Considerar el resultado anterior como una descripción de un tirón 5 injusto monedas. Aunque la moneda es injusto, que los dos resultados son igualmente probables?

Su conjetura es correcta en la pregunta (b)

En la expresión de $(2h+t)^5$, $h$ representa una cabeza y $t$ representa una cola. $(2h+t)^5$ es en realidad una descripción de cinco idénticos injusto monedas cada uno ha $\frac{2}{3}$ probabilidad de sacar cara y $\frac{1}{3}$ conseguir una cola. En la forma expandida: $$32h^5 + 80h^4t^1 + 80h^3t^2 + 40h^2t^3 + 10ht^4 + t^5$$ Podemos ver que el probabaility de llegar de 4 cabezas y 1 cola o la obtención de 3 cabezas y 2 colas son tanto $\frac{80}{32+80+80+40+10+1} = \frac{80}{243}$.

(c) Considere de nuevo el $(2h+t)^{100}$. Imagina que añaden cada coeficiente de la expansión. ¿Cuál sería el total?

A menudo es útil para simplificar el caso y encontrar el patrón de la primera. A partir de la (b) parte, podemos ver que el coeficiente de $32h^5 + 80h^4t^1 + 80h^3t^2 + 40h^2t^3 + 10ht^4 + t^5$ agregar a $243$, que es $3^5$. Siguiendo este patrón, se puede encontrar la respuesta de (c) es $3^{100}$.

Es posible que desee saber por qué el patrón es como este. Aquí está la justificación. Consideremos$(2h+t)^5$ nuevo. Cuando conectamos $h=1$ e $t=1$, la ecuación se convierte en $$32(1)^5 + 80(1)^4(1)^1 + 80(1)^3(1)^2 + 40(1)^2(1)^3 + 10(1)(1)^4 + (1)^5 = 243$$

Ahora está claro que nos podemos encontrar en la suma de coeficiente de tan solo conectando el 1 en todas las variables. Por lo tanto, la respuesta va a ser $$(2(1)+1)^{100} = 3^{100}$$