Egg vs chicken: funciones trigonométricas, exponenciales, reales y complejos

Question

Esto es algo que se tambaleaba cuando me tomó de cálculo, análisis real y, a continuación, el análisis complejo. Específicamente, es el siguiente cadena de definiciones circulares de alguna manera?

1. Definir el conjunto $\mathbb{N}$ de los números naturales, definir operaciones básicas de la aritmética
2. Extender $\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$,$\mathbb{Q}$, y de ampliar las operaciones aritméticas a estos conjuntos como bien
3. El uso de las operaciones aritméticas para determinar la distancia y el uso que para definir la convergencia, límite, y conceptos relacionados
4. Utilizar de 3 a extender $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$
5. Definir seno y coseno en $\mathbb{R}$ el uso de la serie de definiciones y, a continuación, definir otras funciones trigonométricas utilizando seno y coseno
6. Definir $e=\lim(1+1/n)^n$ y definen $\pi$ $\ldots$
7. Utilizar 5 y 6 para derivar las propiedades habituales de funciones trigonométricas, de $e$ $\pi$
8. Definir $e^x$, $x$ real, como $\lim(1+x/n)^n$
9. Por último, definir, para $z=x+iy$, $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$, y derivar propiedades de $e^z$ entre 7 y 8 y complejo de las operaciones aritméticas.

También tengo 3 auxiliar preguntas: i) ¿qué es un estándar / buena definición para $\pi$ arriba? (ii) ¿cómo se bifurque a partir del 5 y 6 de arriba para obtener la geometría de las interpretaciones de $\pi$ y las funciones trigonométricas? (iii) hay un libro (o un par de libros) que dan a los estudiantes una especie de big picture ("grande" para un chico como yo) vista anterior?

Answer 1

La definición de $\pi$ está basado en la ruta que toma para definir las funciones circulares $\sin x, \cos x$. El enfoque tradicional basado en el círculo (por eso el nombre de las funciones circulares) es riguroso/intuitivo/fructífera/fácil. Muchos creen que la definición geométrica basada en el círculo no es riguroso, pero me han demostrado en esta respuesta que es un enfoque riguroso. Sin embargo, el rigor siempre tiene un precio y que usted necesita para pagar en cualquiera de la siguiente manera:

1) Establecer que cualquier arco de un círculo tiene una longitud. Esto se basa en el hecho de que la función de $f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ es monotono en $[0, 1]$ y la definición de arco de longitud. Si se utiliza este enfoque, a continuación, $\pi$ se define como $$\pi = 2\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$

2) Establecer que cualquier sector de un círculo tiene un área de. Esto se basa en el hecho de que la función de $f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ es continua en a $[0, 1]$ y la definición de área de un plano de la región. Si se utiliza este enfoque, a continuación, $\pi$ se define como $$\pi = 4 \int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^{2}}\,dx$$ Si se utiliza la definición de la serie de $\sin x, \cos x$ $\pi$ puede ser definido como: $2\alpha$ donde $\alpha$ es el menos positivo de la raíz de $\cos x = 0$.

La segunda cuestión trata de la interpretación geométrica de la $\pi$ y las funciones trigonométricas. Esto es fácil cuando usted comienza con la serie representación de funciones circulares como definición (bueno, nada es fácil si utiliza una herramienta poderosa de energía como el de la serie y por lo tanto es preferible no utilizarlos como definiciones). Usted necesita establecer $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$ y, a continuación, podemos demostrar fácilmente $$\pi = 2\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$ Further with some effort we can show the monotone nature of $\sen x, \cos x$ on specific intervals and thus define inverse trigonometric functions. Then we can show that if $P = (\cos \theta, \sin\theta)$ is a point on the circle $x^{2} + y^{2} = 1$ then area of corresponding sector is $\theta/2$ and length of corresponding arc is $\theta$. Esto le da a la interpretación geométrica.

He presentado diversos enfoques de la teoría de la exponenciales, funciones logarítmicas y funciones circulares en mi blog. La mayoría del material que hay un desarrollo de las ideas que he encontrado en mi libro favorito "Un Curso de Matemáticas Puras". Este libro no sólo le da a la imagen grande (que puede estar disponible en otros libros también), pero también los detalles más finos (que suelen evitarse o presentado en breve moda en muchos libros).

Answer 2

La lista parece estar bien. Aunque yo preferiría tomar la serie de definición de $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac {x^n}{n!} $. Esto le da a usted una definición para las exponenciales de números complejos desde el principio. Su definición de límite para el número de Euler de la siguiente manera fácilmente. Pero, por supuesto, la manera en que funciona muy bien también.

Como para $\pi$, un "estándar" de la definición es que el $\pi/2$ el positivo menor que la raíz de coseno. No es difícil mostrar la serie para el coseno converge en todas partes. Obviamente es 1 en $x=0$ negativo y, finalmente, por lo que debe tener una raíz.

Con esto en mano todas las geométrico material puede ser desarrollado con un poco de esfuerzo (pero más de los que puedo escribir en mi teléfono).

Un gran lugar para ver un desarrollo cuidadoso de todos los de este material es de Tom Apostol del Cálculo. Él ha detallado las pruebas para casi todos los de este. Acerca de la única cosa de la que se aleja de un pleno de la construcción de los reales (él bocetos de Dedekind recortes, pero omite algunos detalles tediosos).

Edit: el Coseno tiene una raíz.

Deje $\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} = 1 - \dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$.

Esto significa $\cos(0)=1$.

Considere la posibilidad de $\cos(3) = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n3^{2n}}{(2n)!} = 1 - \dfrac{3^2}{2!}+\dfrac{3^4}{4!}-\dfrac{3^6}{6!}+\cdots$.

Deje $n=2k-1$. A continuación,$\dfrac{(-1)^n3^{2n}}{(2n)!}+\dfrac{(-1)^{n+1}3^{2(n+1)}}{(2(n+1))!} = -\dfrac{3^{4k-2}}{(4k-2)!}+\dfrac{3^{4k}}{(4k)!}=\dfrac{3^{4k-2}}{(4k-2)!}\left(-1+\dfrac{9}{(4k-1)(4k)}\right)$.

Al $k \geq 3$, la cantidad anterior es negativo.

Por lo tanto, el $\cos(3)=1-\dfrac{9}{2}+\dfrac{81}{24}+\mbox{negative stuff}+\mbox{more negative stuff}+\cdots$ por lo $\cos(3)=-0.125+\mbox{negative stuff}<0$.

Por lo tanto, puesto que "ya saben" coseno es continua y que "sabemos" el teorema del valor intermedio (como en el caso del Apostol), coseno debe tener una raíz entre $x=0$$x=3$.