Encuentre el límite como$x \to 0$ con la integral de$0$ a$x$ de$\cos(t^3)/(t+x)$

Question

Encuentra el límite $$\lim_{x\to 0}\int_0^x \frac{\cos(t^3)}{t+x} dt

¿Podemos usar ese $\frac{\cos(t^3)}{t+x}$ ~ $\frac{1}{t+x}$ en $0$ y tomar esta integral como $\ln(2x) - \ln(x) = \ln 2$ ?

La respuesta dada es $\ln 2$

Answer 1

Sí, yo creo que es una buena idea, de alguna manera, más formalmente para $x$ lo suficientemente pequeño como hay un $\varepsilon>0$ , de modo que $1-\varepsilon\leq \cos(t^3)\leq 1$ para $t\in [0,x]$ y por lo tanto $$(1-\varepsilon)\int_0^x\frac{1}{t+x}\leq \int_0^x\frac{\cos(t^3)}{t+x}dt\leq\int_0^x\frac{1}{t+x}dt$$ y, por supuesto, para $x>0$ $$\int_0^x\frac{1}{t+x}dt=\ln(2x)-\ln(x)=\ln(2)$$ y por lo tanto $$(1-\varepsilon)\ln(2)\leq \int_0^x\frac{\cos(t^3)}{t+x}dt\leq\ln(2)$$ pero desde $x$ podría ser elegido arbitrariamente pequeño ($x\rightarrow 0$), $\varepsilon$ es arbitrariamente pequeño y por lo tanto $\lim_{x\rightarrow 0}\int_0^x\frac{\cos(t^3)}{t+x}dt=\ln(2)$.