Graficando funciones racionales (y asíntotas)

Question

Tengo una función cuya gráfica se representa a continuación

En primer lugar, quiero encontrar a una posible definición de la función. Sé que tengo asíntotas verticales en $x \in \{-500, 500, 1500\}$ lo $(x+500)(x-500)(x-1500)$ es en mi denominador. Esto es de grado tres.

Sé que la asíntota horizontal tiene que ser el mismo grado que el denominador, ya que es una línea recta por encima de la $x$ eje, pero no sé qué número es en realidad. Hay una manera para mí para aproximar aparte de buscar en la gráfica?

Selección de un número arbitrario $20$, por lo que ahora tengo

$$f(x) = \frac{20x^3}{(x+500)(x-500)(x-1500)}$$

¿Cómo puedo saber cuántas veces la gráfica cruza la asíntota horizontal?

Answer 1

Para el denominador, que está justo en la marca.

La gráfica cruza el $x$-eje en $-2016, 1001$ e $2019$. Eso significa que el numerador debe ser un múltiplo de $(x+2016)(x-1001)(x-2019)$. El coeficiente inicial es igual a la asíntota horizontal. Tenemos que adivinar su altura, pero teniendo en cuenta el $20\,000$ marcas de graduación en el $y$-eje, y sólo salvajemente adivinar, me gustaría hacer una estimación inicial de alrededor de $1500$. Sin embargo, creo que hay una mejor manera.

Evaluamos lo que tenemos hasta ahora (con los principales coeficiente de $1$) a $x = 0$ y obtener $$\frac{2016\cdot (-1001)\cdot (-2019)}{500\cdot (-500)\cdot (-1500)} \approx 10.86$$ En el gráfico, podemos ver que cruza el $y$-eje sólo sobre la mitad de a $20\,000$. Significado queremos que el resultado anterior a ser casi exactamente $1000$ veces más grande.

Así que la tierra en $$f(x) = \frac{1000(x+2016)(x-1001)(x-2019)}{(x+500)(x-500)(x-1500)}$$

¿Cómo puedo saber cuántas veces la gráfica cruza la asíntota horizontal?

A partir de la gráfica, me parece obvio que la respuesta es $1$. Pero usted debe verificar que el mínimo local entre $-500$ e $500$ es lo suficientemente alta, sólo para estar seguro. Cruza exactamente una vez entre los $500$ e $1500$ (tal vez uno debería verificar que realmente es estrictamente creciente aquí, sólo para estar seguro), y a la izquierda de $-500$ y a la derecha de $1500$ no puede cruzar la asíntota como es monotónica.