¿Solución de un sistema de gradiente acoplado?

Question

Supongamos $U \times V \subset \mathbb R^n \times \mathbb R^n$ es un conjunto abierto y $\phi, \psi: U \times V \to \mathbb R$ dos $C^{\infty}$-suave funciones. Además, para cada una de las $y \in V$, $\phi_y: U \to \mathbb R$ tiene la propiedad: todos subnivel conjuntos son compactos, es decir,

$$S_a = \{x \in U: \phi_y(x) = \phi(x, y) \le a\}$$

es compacto para cada $a \in \mathbb R$. Para $\psi$, tenemos que para cada una de las $x$, la función de $\psi_x: V \to \mathbb R$ ha compacto subnivel conjuntos. Podemos definir un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la siguiente manera

$$\begin{align*} \dot{x}(t) = -\partial_x \phi(x, y), \\ \dot{y}(t) = -\partial_y \psi(x, y). \end{align*}$$

Ya que las derivadas parciales son suaves y por lo tanto localmente Lipschitz, para cualquier condición inicial, no debería ser un local de solución única.

Mis preguntas:

1. Es posible inferir que las soluciones están definidos para todos los tiempos?

2. Hay un nombre (y el de referencia) para los sistemas definidos? Parece que se asemejan a un sistema de gradiente sin embargo ellos están acoplados entre sí.

Answer 1

La respuesta a la pregunta 1 es no.

Considere la posibilidad de $U = V = \mathbb{R}$, $\phi(x,y) = \frac{1}{2}(x-y^2)^2$ e $\psi(x,y) = \frac{1}{2}(y-x^2)^2$. A continuación, el subnivel conjuntos de $\phi_y$ e $\psi_x$ por $a \in \mathbb{R}$ son sólo el compacto intervalos de $[y^2-\sqrt{2a}, y^2+\sqrt{2a}]$ e $[x^2-\sqrt{2a}, x^2+\sqrt{2a}]$, respectivamente.

El sistema resulta ser \begin{align*} \dot x = y^2 - x \\ \dot y = x^2 - y. \end{align*}

Una solución a este sistema viene dado por $x(t) = y(t) = \frac{1}{1-e^{t-1}}$, desde \begin{align*} \dot x(t) = \frac{e^{t-1}}{(1-e^{t-1})^2} = \frac{e^{t-1}}{(1-e^{t-1})} \frac{1}{(1-e^{t-1})} = (x(t)-1)x(t) = x(t)^2-x(t) = y(t)^2-x(t), \end{align*}

y viceversa para $y$. Esto no puede ser definido para todo el tiempo, porque $\lim_{t \rightarrow 1} x(t) = \infty$.