Cómo demostrar que una curva "abierta" "bonita" sin límites puede dividir el plano en dos partes.

Question

Teorema de la curva de Jordan es bien conocida, y dice que una curva simple cerrada puede dividir el plano en dos partes: una parte interior y otra exterior.

Ahora me pregunto cómo demostrar un resultado similar sobre curvas "abiertas" (es decir, no cerradas) no limitadas. Supongamos que tengo una curva parametrizada $$ C(t) = (x(t),y(t)),\ t\in (-\infty,\infty). $$ $C(t)$ no se cruza consigo mismo, y no tiene límites en ambos lados, o $$ \|C(t)\|\rightarrow \infty,\ {\rm either}\ t\rightarrow \infty \ {\rm or}t\rightarrow -\infty. $$ ¿Podemos demostrar que $C(t)$ divide el plano en dos partes: una parte izquierda y una parte derecha? En este caso, la "izquierda" y la "derecha" vienen determinadas por la orientación de $C(t)$ (imagínese que atravesamos $C(t)$ como $t$ aumenta).

Creo que la conclusión es correcta, pero por alguna razón no encuentro ningún resultado al respecto. Desgraciadamente, tampoco tengo ninguna idea para demostrarlo.

Muchas gracias por las útiles sugerencias.

Answer 1

Una versión del teorema de la curva de Jordan es la siguiente:

Dejemos que $A$ sea un subconjunto de $S^2$ que es homeomorfo a $S^1$ . Entonces $S^2-S^1$ tiene exactamente dos componentes.

Dejemos que $p:S^2-\{N\}\to \Bbb R^2$ sea la proyección estereográfica ( $N$ es el polo norte). Su curva $C$ puede verse como un mapa continuo uno a uno $C:S^1-\{1\}\to \Bbb R^2$ . Ahora el mapa $$\gamma=p^{-1}\circ C:S^1-\{1\}\to S^2-\{N\}$$ es un mapa continuo uno a uno que tiene la propiedad de que $\gamma(t)\to N$ como $t\to\infty$ . Por lo tanto, se extiende a un mapa continuo uno a uno $\gamma:S^1\to S^2$ . Porque $S^2$ es Hausdorf también lo es $\gamma(S^1)$ Por lo tanto, porque $S^1$ es compacta la biyección continua $\gamma:S^1\to \gamma(S^1)$ es un homeomorfismo. Por lo tanto, se puede aplicar el teorema de la curva de Jordan a $A=\gamma(S^1)$ y deberías conseguir lo que estabas buscando.

Espero que esto ayude. Estoy bastante seguro de que su declaración del teorema de la curva de Jordan es equivalente a la mía utilizando la proyección estereográfica.