Demuestre que si $T$ es una teoría de Skolem en $L$ entonces $T$ es una teoría de Skolem en $L'$

Question

Sea $L$ sea una lengua de primer orden y $L'$ una lengua que procede de $L$ añadiendo constantes. Demuestre que si $T$ es una teoría de Skolem en $L$ entonces $T$ es una teoría de Skolem en $L'$ (y por tanto también cualquier teoría $T\subseteq T'$ en $L'$ ).

Se trata de la pregunta 3.1.1 de la Teoría del modelo más corto de Hodges; he encontrado una solución (que adjunto a continuación) pero no entiendo en absoluto lo que hace. Específicamente:

1. ¿Qué hace cuando "escribe $\phi$ como $\phi '(\bar{x},\bar{c},y)$ con $\phi' (\bar{x},\bar{z},y)$ '? Supuestamente $\phi$ pasa de tener sólo 2 variables ( $\bar x, y)$ a 3 ( $\bar x,\bar c,y$ ) debido a la expansión del lenguaje por constantes...? Pero ¿por qué sustituir entonces la constante $\bar c$ con $\bar z$ ¿una nueva variable libre?

2. ¿Qué es este lema sobre la constante que está citando? He estado buscando por todo 3.1 pero no veo nada relacionado. Sin saber qué es este lema, no puedo entender de qué va ese paso de la demostración.

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Answer 1

El objetivo de sustituir $\phi(\bar{x}, y)$ por $\phi'(\bar{x}, \bar{z}, y)$ es conseguir un $L$ -(que se utiliza en la siguiente línea de la prueba). La fórmula $\phi(\bar{x}, y)$ es un $L'$ -y como sólo hemos añadido constantes en $L'$ los únicos símbolos que impiden $\phi(\bar{x}, y)$ de ser un $L$ -son esas constantes. Otra forma de formular esto es que cada $L'$ -fórmula $\phi(\bar{x}, y)$ surge de algún $L$ -fórmula $\phi'(\bar{x}, \bar{z}, y)$ rellenando una tupla de constantes $\bar{c}$ en el lugar de $\bar{z}$ . Así que $\phi(\bar{x}, y)$ es $\phi'(\bar{x}, \bar{c}, y)$ .

Tu segunda pregunta se reduce a un truco más general de la teoría de modelos. No tengo el libro de Hodges, pero estoy seguro de que se refiere a esto:

Para cualquier teoría $T$ y cualquier fórmula $\phi(\bar{x})$ que no contienen las constantes $\bar{c}$ tenemos: $$ T \vdash \forall \bar{x} \phi(\bar{x}) \quad \Longleftrightarrow \quad T \vdash \phi(\bar{c}). $$

La implicación de izquierda a derecha es trivial (e incluso se cumple si $\phi$ o $T$ contiene $\bar{c}$ ). La otra dirección no es necesaria para su pregunta, pero puede ser un buen ejercicio para probar. Así que una aplicación directa de este lema (de izquierda a derecha dirección) le permite reemplazar $\bar{z}$ por $\bar{c}$ en ese paso.