Cómo definir el contorno "agradable" de una superficie diferencial bidimensional "agradable"

Question

Supongamos que tengo una función suave $f(x,y)$ definido en $(0,\infty)\times(0,\infty)$ (por ejemplo, se puede suponer que la $f(x,y)$ es $C^1$ o, incluso, $C^2$). Es "bonito", en el sentido de que no es una constante $c>0$, y para todos los $x>0$ $$ f(x,0^+) = \lim_{y\rightarrow 0^+}f(x,y)\geq c, f(x,\infty) = \lim_{y\rightarrow \infty} f(x,y) = -\infty. $$ Ahora puedo definir un conjunto $$ S = \{(x,y):f(x,y) < 0\}. $$ Entonces podemos ver que para cualquier $(x,y)\in \partial S$, $f(x,y) = 0$. Por otra parte, parece que no es un "buen" subconjunto $L$ de la frontera, de tal manera que los puntos en $L$ están en una parametrización de la curva de $$ L = \{(\phi_1(t),\phi_2(t)):t\en (-T,\infty)\}, $$ y hay un número finito de $t_0$, $$ \phi_1(t) \rightarrow 0,\ \phi_2(t) \rightarrow y_0>0, \ {\rm como}\ t\rightarrow t_0 $$ y $$ \phi_1(t)\rightarrow \infty,\ {\rm como}\ t\rightarrow +\infty. $$ Mi pregunta es, ¿se puede definir un subconjunto $L$ de los límites rigurosamente basado en $f(x,y)$ sí? Un ejemplo de $L$ se muestra en la imagen, donde el área sombreada es $S$, y la curva roja es el subconjunto $L$ de límite que yo quería.

Mis pensamientos: parece que Se puede "recoger" el componente conectado $K$ que está conectado a $\{(x,\infty):x\in (0,\infty)\}$, y luego nos "llene" el área en blanco en $K$ hacer $K$ simple conectado. A continuación, $L$ puede ser definida como $\partial K$. Pero no estoy seguro de cómo rigurosamente definen dos operaciones de "recoger" y "rellenar", y cómo rigurosamente muestran que $L$ puede parametrizar en el modo descrito anteriormente.

Aquí "rigurosamente" significa que, en una forma que es bien aceptado por la comunidad académica de los matemáticos.^_^

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Para elaborar los lindos comentarios de arriba: probablemente, Usted debe asumir que $f$ es transversal a cero, de lo contrario usted podría construir un ejemplo en donde la $f^{-1}(0)$ tiene medida positiva. Una herramienta importante aquí es la Adrs del teorema, lo que si recuerdo correctamente, los estados que usted puede hacer arbitrariamente un pequeño liso perturbación de $f$ que es en realidad transversal a cero.

Si $f$ es transversal a cero, entonces, de hecho, $f^{-1}(0)$ es un submanifold. Esto se deduce del teorema de la función implícita, que se utiliza para construir submanifold gráficos. Es decir, alrededor de cada punto de $(x,y)\in f^{-1}(0)$, existe alguna pequeña vecindario $U$ tal que dentro de $U$, la $f^{-1}(0)$ es la gráfica de una función suave de $x$ o $y$.

Una vez que usted tiene que $f^{-1}(0)$ es un submanifold puede seleccionar un solo componente, que es homeomórficos a un círculo o una línea. Esta será la línea roja en la imagen. Por supuesto, tales submanifolds puede ser parametrizada, que le da a su $\phi_1, \phi_2$ tal que $f(\phi_1(t),\phi_2(t)) = 0$ para $t>0$.