$ f_n(x) = \left(4x-x^2\right)^n$
Estoy tratando de demostrar que $\int _0^4\:f_n(x)\,dx < 4^{n+1}$
Cuando estoy haciendo una integral general a $n > 1$ obtengo una expresión igual a cero cuando $X = 4$ o $X = 0$ .
Esta es la expresión:
$$\frac{\left(4x-x^2\right)^{n+1}}{(4-2X)(n+1)} $$
¿Qué me estoy perdiendo? Porque no tiene sentido que cada integral con $n > 1$ es igual a cero
A continuación se sugiere una ruta muy tediosa, pero quería publicarla de todos modos. Probablemente no sea así como debe hacerse la pregunta.
Observa como por el teorema del binomio tenemos que: $$I=\int _{x=0}^4\:f_n(x)\,dx =\int _{x=0}^4\: (4x-x^2 )^n\,dx =\int _{x=0}^4\: \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (4x)^{k} \cdot (-x^2)^{n-k}\,dx$$ Hacemos que esto se vea un poco más bonito: $$I=\int _{x=0}^4\: \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 4^{k} \cdot (-1)^{n-k}x^{2n-k}\,dx$$
Podemos cambiar el orden de integración y suma ya que se trata de polinomios (lo que quiero decir es que son de orden finito), computamos: $$I=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{2n-k+1} 4^{k} \cdot (-1)^{n-k}4^{2n-k+1}-0$$ Recopilamos algunos términos: $$I=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{2n-k+1} 4^{2n+1} \cdot (-1)^{n-k}$$ Utilizando fórmulas combinatorias y un poco de ayuda de Wolfram Alpha, se puede calcular exactamente: $$ I =\frac{\sqrt {\pi} \cdot n! \cdot 2^{2n+1}}{(n+\frac{1}{2})!}=\frac{\sqrt \pi \cdot n!}{(n+\frac{1}{2})!} \cdot 4^{n + \frac{1}{2}}$$ Entonces tenemos que demostrar por inducción que $\frac{\sqrt \pi \cdot n!}{(n+\frac{1}{2})!} > \sqrt{4}$ por positivo $n$ .
Sí. Es mucho trabajo. También puede simplemente tomar el enfoque que fue publicado por Bernard y observar que $4x-x^2$ tiene un máximo global en el intervalo $[0,4]$ (el punto inicial y final son ceros de este polinomio), este máximo por simetría se produce en $x=2$ . La función tiene un valor máximo $8-4=4$ . Obsérvese entonces por el lema de estimación que $M =\max_{x \in [0,4]}((4x-x^2)^n)=4^n$ y la longitud de nuestro camino es $4$ . Tenemos: $$ \int _{x=0}^4 f_n dx \leq M L = 4^n \cdot 4 = 4^{n+1} $$
Véase también: Desigualdad ML para integrales reales
O alternativamente, si no te gusta aplicar este teorema, vemos que el $f_n$ es continua ya que es un polinomio, está acotada en $[0,4]$ por lo que por el teorema del valor medio de las integrales debe existir un $\xi \in [0,4]$ tal que: $$ (4-0) \cdot f_n(\xi) =\int _{x=0}^4\:f_n(x)\,dx$$ $$ \int _{x=0}^4\:f_n(x)\,dx = 4 f_n(\xi) $$ Sin embargo, observe que $f_n(\xi) \leq 4^n$ para todos $n \in \mathbb N$ así: $$ \int _{x=0}^4\:f_n(x)\,dx \leq 4 \cdot 4^n = 4^{n+1} $$
Si dejas que $I_n = \int_0^4 (4x-x^2)^ndx$ para cada número entero positivo $n$ incluso se puede encontrar una relación de recurrencia para esta secuencia utilizando la integración por partes:
$$I_n = \int_0^4 (4x-x^2)^n dx = \int_0^4 (4x-x^2)^n \cdot (x-2)'dx = \cdots = -2nI_n + 8n I_{n-1}.$$
De este modo podrás resolver fácilmente tu pregunta utilizando la inducción.
O reescribir esto como: $$ I_{n+1}= \frac{8n}{1+2n} I_n $$ Y luego observar que en general la solución para $$ I_{n+1} = c_n \cdot I_{n} $$ viene dado por: $$ I_ n= I_{n_0} \cdot \prod_ {i=n_0} ^{n-1} c_i$$ Dónde $n_0$ indica el índice inicial, es decir, el primer término.
He aquí una buena solución sin utilizar la expansión binomial.
$$\int_0^4 (4x -x^2)^ndx < 4^{n+1}$$
Si dejamos n=0, la integral se resuelve en 0, que es menor que 4. Así que nuestro caso base está cubierto.
Supongamos ahora que existe un $k$ tal que
$$\int_0^4 (4x -x^2)^kdx < 4^{k+1}$$
Aguanta.
Ahora tenemos que demostrar que esta desigualdad se cumple para el $k+1$ .
$$\int_0^4 (4x -x^2)^{k+1}dx = \int_0^4 (4x -x^2)^k (4x - x^2)dx $$
Si aplicamos la integración por partes y dejamos que $u= 4x -x^2$ y $dv = (4x - x^2)^k$ obtenemos
$$(4x - x^2) \int (4x -x^2)^kdx - (4 - 2x)\int(4x -x^2)^kdx $$
Dejamos que nuestros límites vayan de 0 a 4 y obtenemos lo siguiente
$$0 \int_0^4 (4x -x^2)^kdx + 4 \int_0^4 (4x -x^2)^k$$
Sabemos que $\int_0^4 (4x -x^2)^kdx < 4^{k+1}$ por lo tanto podemos concluir
$$4\int_0^4 (4x -x^2)^kdx < 4^{k+2}$$
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