Factura esperada del consultor dada la distribución del tiempo tomado

Question

La cdf de la cantidad de horas que se tarda un consultor para completar un proyecto dado por $F(x)= \dfrac{x^2}{16}$ de o a 4. El consultor de las facturas de $300 por hora, redondeado al más cercano de media hora, para el proyecto. Lo que se espera que el importe total de la factura?

(a)900
(b)800
(c)872
(d)950
(e)1100

Mi trabajo:

$f(x)= \dfrac{dF(x)}{dx}$

$f(x)=\dfrac{x}{8}$

así

integral de la $x^2/8$ de 0 a 4 = $x^3/24$ de 0 a 4 = 64/24 = 2.6667

ronda 2.6667 más cercana a la media hora es de 2,5

así

2.5*300 = 800

Pero eso está mal; la respuesta a la pregunta es de 872.

Me pueden por favor ayudar a entender el porqué de mi método es incorrecta, así que puedo probar con otro método, mientras que la comprensión de por qué mi último intento fue incorrecta.

Answer 1

Debido a que se redondea a la media hora más cercana , la tarifa esperada es simplemente

$$$ 150 \ left (\ frac {0.5 ^ 2} {16} - \ frac {0 ^ 2} {16} \ right) +$300\left(\frac{1^2}{16}-\frac{0.5^2}{16}\right)+\cdots+$ 1200 \ left (\ frac {4 ^ 2} {16} - \ frac {3.5 ^ 2} {16} \ derecha) $$

(la probabilidad de aterrizar en cada media hora multiplicada por la cantidad recibida en esa media hora)

que es solo $$$ 1200 -$150\left(\frac{3.5^2}{16}+\cdots+\frac{0.5^2}{16}+\frac{0^2}{16}\right)=$ 871.875 \ approx$872$ $

Answer 2

El problema aquí realmente no tiene que ver con la discreta vs continua. Lo que hemos hecho es calcular correctamente la espera tiempo de entrega del proyecto, no el esperado proyecto de ley. No es correcto multiplicar el tiempo de espera por $300$ para obtener el esperado proyecto de ley, incluso si se redondeará hasta ese momento.

¿Por qué es esto? Vamos a decir $X$ es la variable aleatoria que representa el tiempo, y $Y$ es la variable aleatoria que representa el proyecto de ley. Si el consultor no redondea en media hora, a continuación, sólo tendríamos $Y=300X$. En ese caso, podría haber utilizado la siguiente (correcto) razonamiento: $$\text{Since }Y=300X,\quad E[Y]=300E[X].$$

Sin embargo, en realidad tenemos $Y=300\,\mathtt{rnd}(X)$, donde $\mathtt{rnd}$ es la función que redondea a la unidad más cercana de media hora. Su método se utiliza el siguiente (incorrecto) razonamiento: $$\text{Since }Y=300\,\mathtt{rnd}(X),\quad E[Y]=300\,\mathtt{rnd}(E[X])\quad\color{red}{\text{False!}}$$ Mientras que la expectativa es lineal, no conmuta con funciones arbitrarias (en este caso, el redondeo de la función). Usted tiene que calcular la expectativa de la $Y$ variable (el costo) directamente, no hay manera de hacerlo desde la expectativa de la $X$ variable (el tiempo) - debido a que la relación entre las dos variables es más complicado que una función lineal.

P. S. El problema también se dice que el tiempo es redondeado hasta a la más cercana de media hora, por lo que su 2.66667 debería haber sido redondeado a 3, no hacia abajo a la 2.5. Que todavía no dan la respuesta correcta, por las razones que he explicado anteriormente, pero ten en mente que si usted desea intentar de nuevo el problema.

Answer 3

Deje que $X$ sea el monto de la factura total, en dólares. Entonces, $X$ es ciertamente una variable aleatoria discreta. Sus valores posibles son $0, 150, 300, 450, \ldots, 1200$ . Tratar a $X$ como una variable aleatoria continua es un error, porque simplemente no es así.

Answer 4

La probabilidad de que la duración esté entre $\frac{k-1}2$ y $\frac k2$ es $\frac{2k-1}{64}$ y el cargo sería $150k$ . Por lo tanto, el cargo esperado sería $$ \begin{align} \frac{75}{32}\sum_{k=1}^8\left(2k^2-k\right) &=\frac{75}{32}\sum_{k=1}^8\left[4\binom{k}{2}+\binom{k}{1}\right]\\ &=\frac{75}{32}\left[4\binom{k+1}{3}+\binom{k+1}{2}\right]_{k=0}^{k=8}\\ &=\frac{75}{32}\left[4\binom{9}{3}+\binom{9}{2}\right]\\ &=\frac{75}{32}\cdot372\\[9pt] &=871\tfrac78 \end {align} $$