Cuantificadores en lógica de primer orden.

Question

El universal $(\forall)$ y existencial $(\exists)$ cuantificadores son la normal cuantificadores que se llega a través de frecuencia. Otros como singularidad cuantificador $(\exists !)$ también están allí. Pero en este caso, puede ser expresado como una combinación de los dos anteriores.

Preguntas: ¿hay más ejemplos de cuantificadores? Hacer cuantificadores universal y existencial forma de un mínimo conjunto exhaustivo de todos los posibles cuantificadores? Hay incluso algo como "todos los posibles cuantificadores"?

Para los conectivos lógicos, podemos estar seguros de que $\{ \wedge ,\neg\}$ es un conjunto. Así es el singleton conjunto que contiene Sheffer accidente cerebrovascular. Pero aquí también tenemos una manera de ver como tenemos todas las posibles tablas de verdad. Hay una manera de comprobar cuantificadores así?

Answer 1

Hay un montón de otros cuantificadores (haciendo caso omiso de "lenguaje natural" ejemplos como el de "muchos" que son difíciles de definir):

• Infinidad de $x$ se $\varphi$.

• Una cantidad no numerable de $x$ se $\varphi$.

• El mismo número de $x$ se $\varphi$ como se $\psi$.

• Un cofinal conjunto de $x$ (con respecto al orden dado por $\theta$) son de $\varphi$.

y así sucesivamente. Estos son los llamados cuantificadores generalizados y su estudio es una parte clave del modelo abstracto de la teoría.

Curiosamente, mientras que en general es fácil demostrar que una generalizada cuantificador no es de primer orden definibles (generalmente a través de compacidad), hay un sentido preciso en que $\{\forall,\exists\}$ es completa, es decir, Lindstrom mostraron que la adición de cualquier otro cuantificador para la lógica de primer orden que no es reducible a esos dos resultados en un sistema que es o no compactas o no tienen la Lowenheim-Skolem de la propiedad. (Esto es en realidad mucho más resultado general, que nos salva de tener que definir con precisión "cuantificador.")

Answer 2

En principio, se podría hacer hasta arbitrariamente muchos distintos cuantificadores. $\forall x\colon \phi(x)$ e $\exists x\colon \phi(x)$ hacer ciertas declaraciones acerca de la clase $C:=\{\,x\mid \phi(x)\,\}$: Uno dice que $C$ es la clase (o que su complemento es vacío), el otro dice que $C$ no está vacío. Y $\exists!$ dicen que $C$ es un singleton. Podríamos introducir cuantificadores bastante arbitraria declaraciones acerca de $C$, pero lo más natural sería, tal vez, acerca de la cardinalidad de $C$: Indica que $C$ o su complemento tiene al menos $n$, en la mayoría de las $n$, más de $n$, menos de $n$, o exactamente $n$ elementos para una fija finito o infinitie cardinalidad $n$ vienen a la mente. De estos, aquellos con finito cardinalidades son fácilmente construido a partir de $\exists$ e $\forall$ (igual que hacemos con $\exists!$).

Sin embargo, cualquier cuantificadores infinitos cardinalidades son problemáticos en un primer orden de la teoría (es decir, cuando sólo podemos "hablar" acerca de los objetos de nuestro universo, pero no se trata de conjuntos de objetos de nuestro universo): no adecuado de las reglas de inferencia de que los acompañan. Una prueba de $\exists x,\phi(x)$ puede consistir en la construcción de un cante $a$ con $\phi(a)$. ¿Qué debe hacer un prueba de $\exists^\infty x,\phi(x)$ con $\exists^\infty$ es para decir que "hay infinitamente muchos" parecen? Mediante la exhibición de una infinidad de $a_n$ con $\phi(a_n)$? Usted no puede hacer que en un primer orden de teoría de por sí.

Sin embargo, fuera de primer orden formalismo, algunos de estos cuantificadores son muy comunes: Una muy útil es la de "casi todos", que en el contexto de los números naturales se entiende por "todos excepto un número finito". "Casi todos" $n$ tienen la propiedad $\phi$ , entonces es un acceso directo para $\exists n_0\in\Bbb N\colon \forall n\in \Bbb N\colon n>n_0\to \phi(n)$, una construcción muy común en la introducción de límites. Nota cómo las propiedades del conjunto de los números naturales nos permiten expresar "todos excepto un número finito". (En otros contextos, tales como la teoría de la medida, utilizamos "casi todos" con un significado diferente, a saber, "a un conjunto de medida $0$")