Encuentra$a,b,c,d$ tal que$2^a + 2^b + 2^c = 4^d$

Question

Deje $a,b,c,d$ ser números enteros que satisfacen

$$2^a + 2^b + 2^c = 4^d$$

Qué valores de $(a,b,c,d)$ haría que esta ecuación sea verdadera?

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Aquí está mi obra hasta el momento.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $a\ge b\ge c$. A continuación, un trivial solución por inspección es $(1,0,0,1)$. Jugando, también encontré una solución en $(3,2,2,2)$. Entonces revisé $a=5,b=4,c=4$ y encontró que también trabajó.

Parece que hay una familia de soluciones a $(2n-1,2n-2,2n-2,n)$. Puedo probar esto:

\begin{align} LHS&=2^{2n-1}+2^{2n-2}+2^{2n-2}\\ &=2^{2n-1}+2^{2n-1}\\ &=2^{2n}\\ &=4^n\\ &=RHS \end{align}

Es esta la única solución? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Si escribimos los números en el sistema binario, obtenemos $$1\underbrace{0\ldots0}_a+1\underbrace{0\ldots0}_b+1\underbrace{0\ldots0}_c=1\underbrace{0\ldots0}_{2d}$ $ Esto es posible solo si $b=c$ obtiene $1+1=10$ y $a=b+1$ para hacer que el $1$ desaparezca con el llevar.

Además, $a$ debe ser impar.

Answer 2

Obviamente, $d>0$. WLOG, suponga que $a\ge b\ge c$

$2^c(2^{a-c}+2^{b-c}+1)=2^{2d}$

$2^{a-c}+2^{b-c}+1\ge 3$. Por lo tanto, $b-c$ debe $0$ ya que de lo contrario $2^{a-c}+2^{b-c}+1$ será un número impar mayor que $1$.

$2^{a-c}+2^{b-c}+1=2^{a-c}+2=2(2^{a-c-1}+1)$ y, por tanto, $2^{a-c-1}+1$ debe ser par. $a-c=1$.

Tenemos $2^c\times 4=2^{2d}$ y, por tanto, $b=c=2d-2$, $a=2d-1$.

Answer 3

Me gustaría escribir esto como $$\frac1{2^r}+\frac1{2^s}+\frac1{2^t}=1$$ donde $r=2d-a$, $s=2d-b$ e $t=2d-c$ son enteros. Cada una de las $r$, $s$ e $t$ debe ser positivo, y que no puede ser todas las $\ge2$, desde entonces, la LHS es $\le 3/4$. Entonces uno de ellos, decir $r$, es igual a $1$. En ese caso $$\frac1{2^s}+\frac1{2^t}=\frac12.$$ La única posibilidad en este caso es $s=t=2$. Así las soluciones para $(r,s,t)$son $(1,2,2)$, $(2,1,2)$, $(2,2,1)$.

¿Qué acerca de la $(a,b,c)$? Si $(r,s,t)=(1,2,2)$ entonces $(a,b,c)=(c+1,c,c)$ y $2^a+2^b+2^c=2^{c+2}$. A continuación, $c=2d-2$ tiene que ser, y de $(a,b,c) =(2d-1,2 d-2,2 d-2)$ etc.

Answer 4

WLOG $a\ge b\ge c$ . Si $b\neq c$ considera $\pmod {2^{c+1}}$ obtenemos una contradicción (¿por qué?). Luego observe $a=b+1$ considerando $\pmod{2^{b+2}}$ . Entonces $a=b+1=c+1$ , así que $2^b=4^d\implies b$ es par. Por lo tanto, la solución que encontraste son las únicas soluciones.

Answer 5

$$2^a+2^b+2^c=2^c(2^{a-c}+2^{b-c}+1)$ $ Dado que el segundo factor debe ser parejo, vemos que $a>b=c$ , y luego se convierte en $$2^c(2^{a-c}+2)=2^{c+1}(2^{a-c-1}+1)$ $ y ahora vemos que $a=c+1$ .

Ahora, $$2^a+2^b+2^c=4\cdot2^c$ $ así que $c$ es par.