Expresión integral de los polinomios de Legendre.

Question

a) Verificar que para $x > 1$, $n \in \mathbb{N}$ la función $$P_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0 ^ \pi (x + \sqrt{x ^ 2- 1} \cos \phi) ^ n d \phi$$ es un polinomio de grado $n$ (la $n$ésimo polinomio de Legendre).

b) Mostrar que $$P_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0 ^ \pi \frac{d\varphi}{(x - \sqrt{x ^ 2- 1}\cos \varphi) ^ n}.$$

Me han resuelto la primera parte del problema, pero estoy atascado en la segunda parte. He intentado hacer la sustitución de $r = \varphi - \pi$ en la segunda integral y el uso de la rareza de la $y = \cos x$ a traer el denominador a $(x + \sqrt{x ^ 2 - 1} \cos r) ^ n$, pero tengo poca idea de cómo proceder a partir de ahí. Puede alguien ayudar? Gracias de antemano!

Answer 1

Debe haber algo mal. O tal vez estoy equivocado.

El uso de la sustitución $t=\tan(\varphi/2)$ da ese $$\int_0^\pi \frac{d\,\varphi}{a+b\cos\varphi}=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}.$ $ Así que en (b) podemos obtener ese $P_1(x)=1$ pero en (a) obviamente tenemos $P_1(x)=x$ .